厄米算符

厄米算符

在數學裡,作用於一個有限維的內積空間,一個自伴運算元(self-adjoint operator)等於自己的伴隨運算元;等價地說,表達自伴運算元的矩陣埃爾米特矩陣。即厄米算符表達了一個厄米矩陣(Hermitian Matrix)。

基本介紹

  • 中文名:厄米算符
  • 外文名:self-adjoint operator
  • 概念:表達自伴運算元的是埃爾米特矩陣
  • 關鍵字:算符;厄米性;物理量;波函式
  • 分類:物理學
  • 特點:必為實數
簡介,物理學,基本內容,定義及性質,量子力學中力學量用厄米算符來描述,厄米算符與經典的對應,算符的厄米性對波函式的限制,

簡介

埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理,必定存在著一個正交歸一基,可以表達自伴運算元為一個實值對角矩陣
量子力學中,可以觀測的物理量要用厄米算符來表示。算符的厄米性不僅對算符有了很大的限制,而且對波函式也有一些限制。。

物理學

量子力學中的力學量用算符來表示,而實驗上的可觀測的物理量用厄米算符來表示。因此,要弄清物理量的特點,研究厄米算符的性質就顯得尤為重要。此外,在很多量子力學教材中,算符的厄米性通常被認為主要是對算符的限制,而很少關注或說明算符的厄米性對波函式的限制,甚至有很多不準確的表述。其實,為了保證算符的厄米性,常常要求波函式滿足一定的條件。

基本內容

定義及性質

厄米算符
其中ϕ ψ 、是任意波函式,則稱算符
為厄米算符。
厄米算符具有一些重要的性質:
(1)在任何狀態下,厄米算符的本徵值必為實數
(2)在任何狀態下平均值為實數的算符必為厄米算符;
(3)厄米算符的屬於不同本徵值本徵函式彼此正交;
(4) 厄米算符的本徵函式具有完備性

量子力學中力學量用厄米算符來描述

量子體系中的可觀測量力學量)用線性厄米算符來描述是量子力學的一個基本假設,其正確性應該由實驗來判定。
量子體系中的力學量用相應的線性厄米算符來描述”具有多方面的含義:
一,算符的線性是狀態疊加原理所要求的;
二,實驗上的可觀測的力學量總是實數,力學量相應的算符必須是厄米算符;實際上,這種要求是有些過分了,即使某個力學量的算符不是厄米算符,只要它的本徵值是實數即可,但是這樣做的結果會使本徵矢變成超完備的,以致不便於使用。
三,量子力學裡測量值通常不是唯一確定的值,而是具有一定機率分布的一系列的值,這些測量值的平均值可用
(ψ 已經歸一化)來表示;
厄米算符
四,力學量之間的關係也可通過相應算符之間的關係(如對易關係)來反映出來。
基於以上三點,量子力學中的力學量用厄米算符來描述。

厄米算符與經典的對應

我們知道算符的性質可用矩陣來表示,那么厄米算符對應怎樣的矩陣
呢?
厄米算符
從厄米算符是定義出發:
但是需要指出的是,以線性厄米算符表示力學量擴充了量子力學中力學量的範圍,除了有經典的對應的力學量外,即使經典物理中沒有相應的力學量,但只要是線性厄米算符,在微觀世界中有意義,諸如宇稱自旋同位旋等,也都是力學量。

算符的厄米性對波函式的限制

實驗上的可觀測的物理量都是厄米算符,為了保證算符的厄米性,常常要求波函式滿足一定的條件。接下來,下文將在一些文獻的基礎上,以常見的幾種一維算符為例,對此做一些探討。
厄米算符
量子力學中的常見算符
量子力學中的常見算符有坐標算符、動量算符、能量算符、角動量算符等等,對於宇稱算符、自旋算符以及同位旋算符,這裡我們不討論。從這些常見的算符出發,分析它們對波函式的限制,再利用厄米算符的一些性質(如兩厄米算符之和仍為厄米算符,可対易的兩厄米算符之積仍為厄米算符)來研究更廣泛的算符,以期得到普遍的結論。

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