表象理論

研究量子力學規律的各種表示形式以及這些不同形式之間的變換的理論。微觀粒子體系的狀態（量子態）和力學量的具體表示形式稱為表象。

基本介紹

• 中文名：表象理論
• 提出者：E.薛丁格
• 發現年份：1926年
• 實質：描述同一微觀粒子運動規律
• 研究對象：量子力學規律

理論簡介

微觀粒子有波動和粒子兩重性質，1926年E.薛丁格從粒子的波動性出發，用波動方程來描述粒子體系的運動規律，解決了許多理論和實際的問題，這種理論就是波動力學。1925年左右，由W.K.海森伯、M.玻恩、W.泡利等從粒子的粒子性出發，用矩陣的形式來描述粒子體系的運動規律，也解決了同樣的問題，這種不同於波動方程的矩陣運算形式的理論稱為矩陣力學。

計算

矩陣力學和波動力學描述客觀規律的形式雖然不同，但是兩者實質上是一致的，它們都是描述同一微觀粒子運動規律的理論。

坐標

比較直觀一點，粒子體系的狀態可用位置坐標為自變數、時間為參量的波函式ψ(x,t）來描述（以下均考慮一維情況，所得結果易於推廣至三維），|ψ(x,t)|2表示t時刻粒子在位置坐標x附近單位體積出現的幾率。但是ψ（x,t）可以用動量孨的本徵函式的正交、歸一、完全集{ψp(x)}展開，即 式中

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展開係數

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可見，粒子體系的狀態既可以由已知的 ψ(x,t）來描述，也可以用с（p,t）來描述。ψ(x,t）和с（p,t）是兩種等價的不同表示形式的波函式。ψ (x,t）叫做坐標表象（或稱x表象）波函式，с（p,t）叫做動量表象（或稱p表象）波函式。

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相似地ψ(x,t）可以用任一力學量孶的本徵函式完全集{Un(x)}(n=1,2,3，…）展開（為了便於說明，設孶的本徵值具有分立譜），即

展開係數為 因此，若已知ψ(x,t），則同樣可以通過式⑷算出an(t）來，用數字集合{an(t)}來描述這個狀態，{an(t)}叫做Q表象波函式。

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可見，對於同一狀態，有不同的表示形式，分別都是用一組數字集合（分立的或連續的或兼而有之）來描述狀態，這些不同的表示形式中的每一個叫做一個表象。當要解決某特定問題時，便選取一個特定的Q表象，相當於選取一個特定的坐標系。Q表象中的本徵函式正交、歸一、完全集{Un(x)},是這一表象中的一組基矢（簡稱基），它相當於坐標系中的一組單位矢量，而波函式{an(t)}是態矢量ψ 在 Q表象中各基矢方向上的投影（一組數字），這就是表象理論的幾何圖像。

算符

表示力學量的算符，在不同表象中也有不同的表示形式。在坐標表象中， 各種力學量的算符形式是 是動量算符。算符

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作用在波函式ψ(x,t）上得到另一個新的波函式 Ф（x,t），即

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在Q表象中可將ψ(x,t）和Ф（x,t）分別用孶 的本徵函式完全集{Un(x)}展開，展開係數的數字集合{an(t)}和{bn(t)}就是Q表象中分別與ψ(x,t）和Ф（x,t）等價的波函式。利用{Un(x)}正交、歸一的性質，可得到

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式中 Q表象中的式⑹和坐標表象中的式⑸相當，寫成矩陣運算形式時為 即在Q表象中，算符弲 的表示形式是把數字集合{Fmn}排成一個方形矩陣，Fmn表示方形矩陣中第n行第m列的元素，即

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而波函式ψ(x,t）和Ф（x,t）在Q表象中的表示形式，是把數字集合{an(t)}和{bn(t)}分別排成一個列矩陣，即

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對於孶的本徵值具有連續譜的情況，以上的論述仍然成立，只是{Un(t)}、{an(t)}和{bn(t)}等的角注 n要換成連續變化的λ，求和要換成對λ求積分，此時式 ⑺寫成 仍然把它看作矩陣元，{Fλ'λ}看成方形矩陣，{aλ（t)}和{bλ (t)}看成列矩陣，矩陣的行和列都是連續編號的。

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量子力學中採用不同的表象在理論上是完全等價的，而在實際工作中選取什麼表象取決於所討論的問題，表象選得適當可以使問題簡化。

可以用表象理論的幾何圖像來說明表象變換。選取一個特定的表象，相當於在抽象的希耳伯特空間中選取一個有一組完全基矢（本徵函式集）的特定的坐標系，表象變換相當於坐標系的基矢變換，從一個A表象變換到一個B表象，相當於由一組基矢{ψn(x)}（┭的本徵函式集）變到另一組基矢{嗞α（x)}（峺）的本徵函式集），這種變換是通過一個變換矩陣的作用來實現的。{ψn(x)}是完全集，B表象中的每一基矢嗞α（x）都可按{ψn(x)}展開

可見這個變換矩陣是一種么正矩陣，式⑻中兩種表象之間基矢的變換是一個么正變換。

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態

態的表象表示

⑴ 坐標表象

以坐標算符的本徵態為基底構成的表象稱為坐標表象。

⑵ 動量表象

以動量算符的本徵態為基底構成的表象是動量表象。選x為自變數，動量算符的本徵函式是平面波。

動量表象也可以用動量為自變數表示。在Px表象中，粒子具有確定動量分量Px的波函式是以Px為自變數的函式

⑶ 任意表象

設有某一線性厄米算符。為敘述方便起見，假定算符具有分立本徵值譜。物理意義是：當體系處在以（r,t）所描述的狀態時，力學量Q具有確定值Qn的機率是具有和波函式統計解釋相同的機率解釋。

說明：希爾伯特空間，空間的維數等於完備、正交、歸一的本徵函式系中本徵函式的個數，它可以是有限維的，也可以是無窮維的，而且空間的基底既可以是個實向量也可以是個複函數。態矢量是個復矢量。

量子態希爾伯特空間中的態矢量； 波函式態矢量在特定基底中的分量，可用列矩陣或用函式表示； 任意算符的本徵函式系表象的基；不同表象不同基，不同坐標系；本徵函式基矢；厄米算符的本徵函式系一組完備的基矢。