第一變分公式

第一變分公式是計算能量泛函的一階變分公式。第一變分公式表明:τ(f)=0是能量泛函的歐拉-拉格朗日方程,而調和映射恰是能量泛函的臨界點。

基本介紹

  • 中文名:第一變分公式
  • 外文名:first variational formula
  • 適用範圍:數理科學
簡介,意義,能量泛函,

簡介

第一變分公式是計算能量泛函的一階變分公式。
若f:M→N是光滑映射,V∈Γ(fTN)是誘導向量叢fTN的一個截面,ft:M→N(-ε<t<ε)是滿足f0=f和
的單參數光滑映射族,則當V具有緊緻支集時,成立第一變分公式
式中τ(f)為f的張力場,<,>表示N的黎曼內積,∗1為M的體積元。

意義

第一變分公式表明:τ(f)=0是能量泛函的歐拉-拉格朗日方程,而調和映射恰是能量泛函的臨界點。

能量泛函

(energy functional)
能量泛函是映射的微分的模長平方的積分。
設M和N為黎曼流形,f:M→N為光滑映射,f的能量定義為
式中df為f的微分,∗1為M的體積元,E稱為能量泛函,
稱為能量密度。

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