弧長第一變分公式

弧長第一變分公式(first variation formula ofarc length)曲線族弧長泛函的一階導數公式.設Y(t) (a<t<b)是黎曼流形M中一條給定的光滑曲線，t是弧長參數.設a;[a,司X(一。,e)->M是光滑映射，使得a(t,0)=Y(t)，稱映射a為曲線Y的一個變分.對任意固定的、E(一:，:)，若Y,,=a(t,s),a板t毛b，其長度記為L(s)，則有

曲線Y(t) (a毛t毛b)為測地線的充分必要條件是:它是曲線的弧長泛函在有固定端點的任意變分下的臨界點.