第一變分公式

第一變分公式是計算能量泛函的一階變分公式。第一變分公式表明：τ(f)=0是能量泛函的歐拉-拉格朗日方程，而調和映射恰是能量泛函的臨界點。

基本介紹

• 中文名：第一變分公式
• 外文名：first variational formula
• 適用範圍：數理科學

簡介

第一變分公式是計算能量泛函的一階變分公式。

若f:M→N是光滑映射，V∈Γ(f^-1TN)是誘導向量叢f^-1TN的一個截面，f_t:M→N(-ε<t<ε)是滿足f₀=f和

的單參數光滑映射族，則當V具有緊緻支集時，成立第一變分公式

式中τ(f)為f的張力場，<,>表示N的黎曼內積，∗1為M的體積元。

意義

第一變分公式表明：τ(f)=0是能量泛函的歐拉-拉格朗日方程，而調和映射恰是能量泛函的臨界點。

能量泛函

(energy functional)

能量泛函是映射的微分的模長平方的積分。

設M和N為黎曼流形，f:M→N為光滑映射，f的能量定義為

式中df為f的微分，∗1為M的體積元，E稱為能量泛函，稱為能量密度。