弧長第二變分公式(second variation formulaof arc length)刻畫弧長泛函在臨界點附近性態的重要公式.設Y(t) (a毛t毛b)是黎曼流形M中的一條測地線，t是弧長參數.若a;}a,川X(一:，e)-.M是測地線Y的任意一個變分，則所謂弧長第二變分公式是指下列公式:
若測地線Y<t) <a鎮t鎮b)對於它的任意一個保持端點不動的變分a都有L"<OWO，則該測地線的長度比連線Y(a),Y(b)的鄰近曲線的長度都要短，即在連線測地線Y的兩端的鄰近曲線的集合中該測地線的長度達到極小值.弧長第二變分公式中出現與黎曼流形M的曲率有關的項，因此，在討論測地線的最短性質時，流形的曲率性質擔任重要的角色.
