積分幾何測度（integral geometric measure）是用積分表示的歐氏空間的子集的一種測度。
基本介紹
- 中文名：積分幾何測度
- 外文名：integral geometric measure
- 適用範圍：數理科學
簡介,推廣,測度,
簡介
積分幾何測度是用積分表示的歐氏空間的子集的一種測度。
設p:R→R為正交內射，其共軛映射為p*，一切p*之集為O*(n,k)，正交群O(n)=O(n,n)通過右乘可遞地作用於O*(n,k)(對於g∈O(n)，p*∈O* (n,k)，有p*g∈O*(n,k))，成為O* (n,k)上的一個右平移，這個運算在O*(n,k)上誘導出惟一的不變測度θ*，使得O*(n,k)的θ*為1。對於
，令
稱為A的積分幾何測度，其中μk是k維勒貝格測度。
推廣
當A為 (H,k)可求積集時，有 H(A)=I1因此它反應了 (H,k)可求積集的內射性質，它可以看做求平面曲線長度的克羅夫頓方法的推廣，也類似於柯西求凸體周界面積的方法。
另一方面，對於H測度有限的任何波萊爾集B，總存在波萊爾子集
，使得
上這些結果，首先為貝斯爾科里奇(Besrkolyqu,A.S.)對於平面上的H測度而得到。
1947年，費德雷爾(Federer,H. )證明了一般情形。
測度
數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。
定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
