秩-零化度定理

在線性代數中，秩-零化度定理給出了一個線性變換或一個矩陣的秩(rank)和零化度(nullity) 之間的關係。

基本介紹

• 中文名：秩-零化度定理
• 類型：定理
• 公式：rank A+ nullity A= n
• 領域：數學、線性代數
• 定義：線性變換或秩和零化度之間的關係

簡介

對一個元素在域F中的矩陣，有：

同樣的，對於一個從 F線性空間V射到 F線性空間W的線性變換T：T: V→ W， T的秩是它的象的維度，T的零化度是它的核（零空間）的維度。我們有：

也就是： 實際上定理在更廣的範圍內也成立，因為V和 F可以是無限維的。

證明

證明的方法基於線性空間的基和同構。

設 V是一個有限維線性空間， ，對一個從V射到 F的線性變換 T，ker T是 V的一個子空間。設 是 ker T的一組基（ p≤ n）。根據基擴充定理，可以被擴充為 V的一組基：。 是一組線性無關的向量，設 H是它們張成的子空間，那么 V是 ker T與 H的直和：

所以，按照直和的性質，有 ，並且，同時，，其中。考慮T限制在 H上到 im T的線性變換：

下證是一個雙射：

是一個單射，因為， 。 是一個滿射，因為， ，而且 ，其中。 於是 ，其中，所以是一個滿射。 於是是一個H到 im T的同構，所以

綜上所述，即有： 也就是：

證明[編輯]

證明的方法基於線性空間的基和同構。

設 是一個有限維線性空間，其維度 。對一個從 射到 的線性變換 ，它的核是 的一個子空間。設 是 的一組基 。根據基擴充定理， 可以被擴充為 的一組基： 。除了 的 個向量以外，另外的 個向量 是一組線性無關的向量。設是它們張成的子空間，那么 是子空間 與 的直和：

所以，按照直和的性質，有 ，並且這兩個子空間的交集為 。同時， 都可以寫成 的形式，其中 。考慮 限制在 上到 的線性變換 ：

下證 是一個同構。首先由於 是線性映射，所以 是線性映射。只需證明它也是雙射：

是一個單射，因為 ，。

是一個滿射，因為 ， ，使得 ，而且 ，其中 。 於是 ，其中 ，所以 是一個滿射。

既然 是一個 到 的同構，那么

綜上所述，即有：

也就是：

其他表達形式及推廣

正合列

秩-零化度定理是抽象代數中的同態基本定理在線性空間上的表現形式。如果用更現代的語言，定理可以表示為：如果

是線性空間中的一個短正合列，那么有： 其中 R表示 im T， U表示 ker T。 在有限維的情況下，上式可以作進一步推廣。如果

是有限維線性空間中的一個正合列，那么有： 在有限維線性空間中，秩-零化度定理還可以用線性變換的指標（index）描述。線性變換的指標指的是，對於線性變換 ：

其中 表示 T的余核。正如 ker T表示方程 線性無關的解的“個數”， 表示使得方程 有解而必須加於 y的限制條件的個數。

這時秩-零化度定理表述為： 可以看到，在這種表述下，我們可以很容易地得到 T的指標，而不必對 T作深入研究。更深入的結果可以參見Atiyah–Singer指標定理（en:Atiyah-Singer index theorem）。Atiyah–Singer指標定理說明某些微分運算元的指標可以通過涉及的空間的幾何性質得到。