基本介紹
- 中文名：西爾維斯特方程
- 外文名：Sylvester equation
- 性質：矩陣方程
- 學科：控制理論
定義,解的存在及唯一,Roth消去法則,數值解,
定義
其中A、B及C是已知的矩陣，問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的係數都是複數。為了要使方程成立，矩陣的行和列需要滿足一定條件，A和B都要是方陣，大小分別是n和m，而X和C要是n行m列的矩陣，n和m也可以相等，四個矩陣都是大小相同的方陣。
西爾維斯特方程有唯一解X的充分必要條件是A和-B沒有共同的特徵值。
AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空間中有界運算元的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜互為不交集。
解的存在及唯一
- 命題
假定複數的
矩陣
和
，西爾維斯特方程針對任意
有唯一解，若且唯 若和
沒有共同的特徵值。
- 證明
考慮線性轉換
，
(i)假設和沒有共同的特徵值，則其特徵方程式
和
的最大公因式為
，因此存在複數多項式
和
，使得
。依照Cayley–Hamilton定理，
；因此
。令
為
的解，則
，重複上述作法，可得
。因此依照秩－零化度定理，
是可逆的，因此針對所有的都存在唯一的解。
(ii) 相對的，若假設
是和的共同特徵值，則也是
的特徵值。存在非零向量
和
使得
以及
。選擇使得
，向量的元素是的共軛複數，則
沒有解，因為複數的雙線性pairing
，等號的右邊為正值，而左側為零。
Roth消去法則
假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣
和
是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。
可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則
Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界運算元中。
數值解
西爾維斯特方程數值解的經典算法是Bartels–Stewart算法，利用QR算法將矩陣和矩陣轉換為舒爾形式，再用逆向取代法求解三角矩陣。此算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函式計算，計算複雜度是
個數學運算。也可以參考其中的sylvester函式。在一些特定的影像處理套用中，西爾維斯特方程會有解析解。
