相關係數是最早由統計學家卡爾·皮爾遜設計的統計指標，是研究變數之間線性相關程度的量，一般用字母 r 表示。由於研究對象的不同，相關係數有多種定義方式，較為常用的是皮爾遜相關係數。
相關表和相關圖可反映兩個變數之間的相互關係及其相關方向，但無法確切地表明兩個變數之間相關的程度。相關係數是用以反映變數之間相關關係密切程度的統計指標。相關係數是按積差方法計算，同樣以兩變數與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變數之間相關程度；著重研究線性的單相關係數。
需要說明的是，皮爾遜相關係數並不是唯一的相關係數，但是最常見的相關係數，以下解釋都是針對皮爾遜相關係數。
依據相關現象之間的不同特徵，其統計指標的名稱有所不同。如將反映兩變數間線性相關關係的統計指標稱為相關係數（相關係數的平方稱為判定係數）；將反映兩變數間曲線相關關係的統計指標稱為非線性相關係數、非線性判定係數；將反映多元線性相關關係的統計指標稱為復相關係數、復判定係數等。
基本介紹
- 中文名：相關係數
- 外文名：Correlation coefficient
- 基本釋義：度量兩個變數間的線性關係
- 常用：皮爾遜相關係數
- 描述：線性關係
- 特點：無量綱
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定義
相關關係是一種非確定性的關係，相關係數是研究變數之間線性相關程度的量。由於研究對象的不同，相關係數有如下幾種定義方式。
簡單相關係數：又叫相關係數或線性相關係數，一般用字母r 表示，用來度量兩個變數間的線性關係。
定義式
典型相關係數：是先對原來各組變數進行主成分分析，得到新的線性關係的綜合指標，再通過綜合指標之間的線性相關係數來研究原各組變數間相關關係。
性質
這裡，
，
是一個可以表征
和
之間線性關係緊密程度的量。它具有兩個性質：
（1）
（2）
的充要條件是，存在常數a，b，使得
由性質衍生：
a. 相關係數定量地刻畫了 X 和 Y的相關程度，即
越大，相關程度越大；
對應相關程度最低；
b. X 和Y 完全相關的含義是在機率為1的意義下存線上性關係，於是 是一個可以表征X 和Y 之間線性關係緊密程度的量。當 較大時，通常說X 和Y相關程度較好；當 較小時，通常說X 和Y相關程度較差；當X和Y不相關，通常認為X和Y之間不存線上性關係，但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係。
不相關和獨立
若X和Y不相關， ，通常認為X和Y之間不存線上性關係，但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係；若 ，則X和Y不相關。
若X和Y獨立，則必有 ，因而X和Y不相關；若X和Y不相關，則僅僅是不存線上性關係，可能存在其他關係，如
，X和Y不獨立。
因此，“不相關”是一個比“獨立”要弱的概念。
生活示例
軟體公司在全國有許多代理商，為研究它的財務軟體產品的廣告投入與銷售額的關係，統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察，蒐集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據，並編製成相關表，見表1:
表1 廣告費與月平均銷售額相關表 單位：萬元
| 年廣告費投入 | 12.5 | 15.3 | 23.2 | 26.4 | 33.5 | 34.4 | 39.4 | 45.2 | 55.4 | 60.9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 月均銷售額 | 21.2 | 23.9 | 32.9 | 34.1 | 42.5 | 43.2 | 49.0 | 52.8 | 59.4 | 63.5 |
參照表1，可計算相關係數如表2：
| 序號 | 廣告投入(萬元) x | 月均銷售額(萬元) y | |||
|---|---|---|---|---|---|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | 12.5 15.3 23.2 26.4 33.5 34.4 39.4 45.2 55.4 60.9 | 21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5 | 156.25 234.09 538.24 696.96 1122.25 1183.36 1552.36 2043.04 3069.16 3708.81 | 449.44 571.21 1082.41 1162.81 1806.25 1866.24 2401.00 2787.84 3528.36 4032.25 | 265.00 365.67 763.28 900.24 1423.75 1486.08 1930.60 2386.56 3290.76 3867.15 |
合計 | 346.2 | 422.5 | 14304.52 | 19687.81 | 16679.09 |
相關係數為0.9942，說明廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關係。
套用
機率論
【例】若將一枚硬幣拋n次，X表示n次試驗中出現正面的次數，Y表示n次試驗中出現反面的次數。計算ρXY。
解：由於X+Y=n，則Y=-X+n，根據相關係數的性質推論，得ρXY = − 1。
企業物流
【例】一種新產品上市。在上市之前，公司的物流部需把新產品合理分配到全國的10個倉庫，新品上市一個月後，要評估實際分配方案與之前考慮的其他分配方案中，是實際分配方案好還是其中尚未使用的分配方案更好，通過這樣的評估，可以在下一次的新產品上市使用更準確的產品分配方案，以避免由於分配而產生的積壓和斷貨。表1是根據實際數據所列的數表。
通過計算，很容易得出這3個分配方案中，B的相關係數是最大的，這樣就評估到B的分配方案比實際分配方案A更好，在下一次的新產品上市分配計畫中，就可以考慮用B這種分配方法來計算實際分配方案。
聚類分析
【例】如果有若干個樣品，每個樣品有n個特徵，則相關係數可以表示兩個樣品間的相似程度。藉此，可以對樣品的親疏遠近進行距離聚類。例如9個小麥品種(分別用A1,A2,...,A9表示)的6個性狀資料見表2，作相關係數計算並檢驗。
由相關係數計算公式可計算出6個性狀間的相關係數，分析及檢驗結果見表3。由表3可以看出，冬季分櫱與每穗粒數之間呈現負相關(ρ = − 0.8982)，即麥冬季分櫱越多，那么每穗的小麥粒數越少，其他性狀之間的關係不顯著。
缺點
需要指出的是，相關係數有一個明顯的缺點，即它接近於1的程度與數據組數n相關，這容易給人一種假象。因為，當n較小時，相關係數的波動較大，對有些樣本相關係數的絕對值易接近於1；當n較大時，相關係數的絕對值容易偏小。特別是當n=2時，相關係數的絕對值總為1。因此在樣本容量n較小時，我們僅憑相關係數較大就判定變數x與y之間有密切的線性關係是不妥當的。
