生成矩陣

生成矩陣是線性碼的一種表示。e元[n,a]線性碼C的一個生成矩陣是有限域F_e上的一個a×n矩陣，其行向量構成子空間C的一組基，設C與C′是兩個e元線性碼，G與G′分別為生成矩陣，若存在置換P使G=G′P，則稱C與C′為等價碼，在等價意義下，每個e元[n,a]碼有一個形為[I_a A]的生成矩陣，這裡I_a是a階單位矩陣，A是一個a×(n-a)陣。線性碼的生成矩陣是研究線性碼的編碼與解碼的一個重要工具。

基本介紹

• 中文名：生成矩陣
• 外文名：generator matrix、generated matrix
• 所屬學科：線性代數
• 作用：線性碼的編碼與解碼的重要工具
• 相關概念：線性分組碼、監督矩陣等

基本介紹

線性分組碼的一個碼組內有 個碼元，其中 個信息碼元， 個監督碼元， ，表示為 碼。 碼可以表示 個狀態，即可以有 個碼字，但其中只有 個是許用碼字，其餘 個為禁用碼字。許用碼字中的r個監督碼元與k個信息碼元之間成線性關係。

下面以(7，4)碼為例，說明生成矩陣的概念。

(7，4)線性分組碼的一個碼字C中有7個碼元 ，其中 為信息碼元， 為監督碼元。監督碼元與信息碼元之間的關係可以用以下關係式表示：

式中，符號“+”為模2加。此(7，4)碼的7個碼元與信息碼之間的關係可表示為矩陣方程，即

或者

其中

稱式 為此(7，4)碼的生成矩陣。由生成矩陣可構造差錯控制編碼器。

由式

可求得(7，4)線性分組碼的16個許用碼字為：0000000，0001011，0010101，0011110，0100110，0101101，0110011，0111000，1000111，1001100，1010010，1011001，1100001，1101010，1110100，1111111。

由(7，4)碼的16個許用碼組可以看出：任意兩個許用組之和仍為一許用碼組，最小碼距為非零碼組的最小碼重。這就是線性分組碼的封閉性。可以將式

的生成矩陣表示為

式中 為 階單位方陣， 為 階矩陣。稱式

所示的生成矩陣為典型生成矩陣。由典型生成矩陣可以得到系統碼。

重要特性

(1)生成矩陣 一定是 行 列的 階矩陣，該生成矩陣 的每行構成一行矢量，共有 個行矢量 。

(2)線性分組碼的每個碼組(字)是生成矩陣 各行矢量的線性組合。

顯然，當 為全零信息分組時， 為全零序列。

(3) 的每一行是一個碼字。

因為若信息分組 (即 ，其他為0)，則 ；若 (即 ，其他為0)，則 ；依此類推，若 (即 ，其他為0)，則 。

(4)生成矩陣 的各行線性無關。

(5)如果生成矩陣 不具備式 的形式，則由該生成矩陣產生的 線性分組碼為非系統碼。然而，對於任意的 線性分組碼，總可通過初等行變換及列交換將它的非系統碼生成矩陣變換為另一等價的系統碼的生成矩陣。此兩等價生成矩陣生成的兩個 線性分組碼的檢、糾錯性能是相同的。

與監督矩陣H的關係

線性分組碼完全可以由生成矩陣和監督矩陣所決定，一般在討論編碼問題時，常採用生成矩陣 ，而在討論解碼問題時，常採用監督矩陣 。

由於生成矩陣 中的每一行及其線性組合都是 碼的碼組(字)，所以結合監督位線性方程組的一般形式 ，有

或

或由上面幾個公式，有

所以只有當或時上式才成立。這時的生成矩陣 與監督矩陣 可以互相轉換，式中 是一個 階的 矩陣， 是 矩陣的轉置。