托普利茲矩陣

托普利茲矩陣，簡稱為T型矩陣，它是由Bryc、Dembo、Jiang於2006年提出的。托普利茲矩陣的主對角線上的元素相等，平行於主對角線的線上的元素也相等；矩陣中的各元素關於次對角線對稱，即T型矩陣為次對稱矩陣。簡單的T形矩陣包括前向位移矩陣和後向位移矩陣。在數學軟體Matlab中，生成托普利茲矩陣的函式是：toeplitz(x,y)。它生成一個以 x 為第一列，y 為第一行的托普利茲矩陣，這裡x, y均為向量，兩者不必等長。

基本介紹

• 中文名：托普利茲矩陣
• 外文名：Toeplitz matrix
• 簡稱為：T型矩陣
• 生成函式：toeplitz(x,y)
• 提出者：Bryc、Dembo、Jiang
• 提出時間：2006
• 套用學科：統計信號處理

定義

設 ，如果 ，即：

則稱 為托普利茲矩陣（Toeplitz matrix）。

特點

元素特點

（1）托普利茲矩陣完全由其第1行和第1列的2n一1個元素確定。

（2）托普利茲矩陣沿平行?>主對角線的每一對角線上的元素是相等的，是關於交叉對角線對稱的。顯然，有： ，其中 為反向單位矩陣。

（3）除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。

（4）矩陣中的各元素關於次對角線對稱，即T型矩陣為次對稱矩陣。

特殊的T形矩陣

在數位訊號處理領域中經常遇到一種特殊的T型矩陣，它除了具有一般T型矩陣的特點外，還是一個對稱矩陣，形式如下：

簡單T形矩陣

前向移位矩陣

後向移位矩陣

相關定理

定理1

為托普利茲矩陣的充分必要條件是 可以表示為： ，其中 為前向位移矩陣和後向位移矩陣。

定理2

非奇異矩陣 為托普利茲矩陣的充分必要條件是存在 階矩陣：

使得 。

定理3

若是漢克矩陣，則 和 是托普利茲矩陣，其中是反向單位矩陣；

若是托普利茲矩陣，則和是漢克矩陣，其中是反向單位矩陣。

用MATLAB生成

語法說明

在數學軟體Matlab中，生成托普利茲矩陣的函式是：toeplitz()。

（1）toeplitz(c,r)，生成一個非對稱的托普利茲矩陣，將c作為第1列，將r作為第1行，其餘元素與左上角相鄰元素相等。

toeplitz(r)用向量r生成一個對稱的托普利茲矩陣。

具體操作及結果

例如，在MTLAB命令視窗中輸入：T=toeplitz(1:6)，結果如下：

matlab中生成toeplitz矩陣