球形

球形（球形是日常生活中人們的叫法，嚴格的來說叫做球體，英文：sphere）是一種簡單空間幾何體。半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球心。連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。球心到球面上任意一點的距離都相等。連結球面上兩點並且經過球心的線段叫做球的直徑。

基本介紹

• 中文名：球形
• 外文名：sphere
• 特點：球心到球面上的距離都相等
• 舉例：保齡球
• 簡稱：球
• 領域：數學；幾何

簡介

在數學里，球形是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。

球形的概念不只存在於三維歐氏空間里，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間里。n 維空間裡的球稱為n 維球，且包含於 n-1 維球面內。因此，在歐氏平面里，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間里，球則是指在二維球面邊界內的空間。

性質

在空間幾何體中，球形的表面勢能最小。球形是同體積幾何體中，表面積最小的 ，球形是同表面積幾何體中，體積最大的。球體是一種表面沒有稜角的幾何體。

歐氏空間裡的球形

在 維歐氏空間裡，一個中心為 ，半徑為 的 維（開）球是個由所有距 的距離小於 的點所組成之集合。一個中心為 ，半徑為 的 維閉球是個由所有距 的距離小於等於 的點所組成之集合。

在 維歐氏空間裡，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。

1.體積

在 維歐氏空間裡，半徑 R 的球之 維體積為：

其中，Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函式（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函式在整數與半整數時的公式，可不需要估算 Γ 函式即可計算出球的體積：

在奇數維度時的體積公式里，對每個奇數 ，雙階乘 定義為

一般度量空間裡的球形

令 為一度量空間，即具有度量（距離函式） 的集合 。中心為 內的點 ，半徑為 的開球，通常標計為 或 ，定義為

其閉球，可標計為 或 ，則定義為

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 ，因為依定義， 。

開球的閉包通常標記為 。雖然 與 總是成立的，但 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 里，對每個 內的 而言，{ ，但 。

一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裡的開球為拓撲空間里的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 導出之拓撲。

賦范向量空間裡的球

每個具範數 |·| 的賦范向量空間亦為一度量空間，其中度量 。在此類空間裡，每個球 均可視為是單位球 平移 ，再縮放 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦范向量空間裡球的一例。

1.p-範數

在具 p-範數 的笛卡爾空間 里，開球是指集合

在二維 時， （通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 （切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維 時， 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

2.一般凸範數

更一般性地，給定任一 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 ，均可定義一個在 的範數，該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的“開”子集以“閉”子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 內的範數。

拓撲空間裡的球形

在拓撲學的文獻里，“球形”可能有兩種含義，由上下文決定。

1.開集

"球"一詞有時被非正式地用於指代任何開集：可以用 點周圍的一個球”代表包含的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣，“閉球”有時用於表示這樣一個開集的閉包。（這可能產生誤導，例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包，它們都是既開且閉的。）

有時，鄰域用於指代這個意義上的球，但是鄰域其實有更一般的意義： 的一個鄰域是任何包含一個的開集的集合，因此通常不是開集。

2.拓撲球

內的 維（開或閉）拓撲球是指 X 內同胚於 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 及 維開單位超方形 。任一 維閉拓撲球均同胚於 維閉超方形 [0,1]。

維球同胚於 維球，若且唯若 。 維開球 與 間的同胚可分成兩種類型，以 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 維歐幾里得球

生活中常見球形

由於球體的物理特性，因此生活中很多地方都可以看到球體：

核武器中核子彈（裂變彈）的製造。球形是臨界質量最小的一種形狀，從單位球形裂變材料中逃逸出來的中子數最少，因此採用裸球，鈾235和鈽239的臨界質量分別為52和10千克（鈾235的密度小於鈽239）。

在表面張力的作用下，液滴總是力圖保持球形，這就是我們常見的樹葉上的水滴按近球形的原因。藻類體形多樣，但細胞具有趨同的球形或近似球形，是有利於浮游生活的適應。

物質總自然趨於勢能最低的狀態！球形（或橢球體）是宇宙中大質量天體保持內部受力均衡的主要形式之一。

數學中的球形

半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球心。連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。連結球面上兩點並且經過球心的線段叫做球的直徑。用一個平面去截一個球，截面是圓面。球的截面有以下性質：

1） 球心和截面圓心的連線垂直於截面；

2） 球心到截面的距離 與球的半徑 及截面的半徑 有下面的關係： 。

球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經過球心的截面截得的圓叫做小圓。

在球面上，兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離。

其他球形物體

球形星團、球形閃電、球形建築、球形活性炭、球形機器人、球形莎草、彩色球形珍珠、球形蛋白質、球形集珠霉、球形紅假單胞菌、足球、籃球、皮球、桌球、羽毛球、高爾夫球等。