《特殊矩陣與多項式和矩陣多項式的慣性問題》是依託北京師範大學，由胡永建擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：特殊矩陣與多項式和矩陣多項式的慣性問題
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：胡永建
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
多項式和矩陣多項式的慣性問題研究的是多項式和矩陣多項式的零點關於複平面上給定曲線的分布情況，它在微分(差分)方程解的穩定性理論中有重要的作用。特殊矩陣,如(廣義)Bezout矩陣、(塊)Hankel矩陣、（塊）Toeplitz矩陣等,在解決多項式和矩陣多項式的慣性問題中扮演重要的角色，Fujiwara, Barnett, Heinig，Gohberg，Lerer等在這方面做了大量的研究工作。然而，當多項式和矩陣多項式關於複平面上給定曲線具有對稱因式時，現有的一些基於特殊矩陣的判別準則失效。因此，利用特殊矩陣確定多項式與矩陣多項式的慣性問題並未完全解決。本課題將提出一個統一的用特殊矩陣確定關於複平面上給定直線或圓周具有對稱因式的多項式和矩陣多項式的慣性的有效方法，給出具體的判別準則，並進行數值驗證。
結題摘要
多項式慣性問題是穩定性理論中重要而又基本的問題，Nevanlinna-Pick插值和矩量問題是經典分析中的著名問題。本項目研究結構矩陣在求解這些問題中的套用。我們通過對多項式的變元進行擾動，解決了Bezout矩陣奇異情形的三個著名的多項式慣性問題：Hermite問題、Routh-Hurwitz問題和Schur-Cohn問題，得到了Hermite-Fujiwara定理、Routh-Hurwitz-Fujiwara定理和Schur-Cohn-Fujiwara定理的推廣；通過修正的塊Toeplitz向量方法，研究矩陣值Caratheodory係數問題與矩陣值Caratheodory函式類中Nevanlinna-Pick插值問題極端解的性質，證明了這兩類插值問題極大質量解的存在性和唯一性；通過塊Hankel向量方法，研究矩陣值Hamburger矩量問題和矩陣值Nevanlinna函式類中Nevanlinna-Pick插值問題的極端解的性質，證明了這兩類插值問題極大質量解的存在性和唯一性；引入了Chebyshev型Bezout矩陣的概念，給出了這類廣義Bezout矩陣的Barnett分解式和三角分解式；通過塊Toeplitz向量方法，研究矩陣值Caratheodory函式類中既帶有多重邊界插值數據與非邊界插值數據的Nevanlinna-Pick插值問題，得到了這類插值問題和一類帶有限質量約束的三角矩陣值矩量問題之間的內在聯繫，給出了這兩類插值問題的可解性準則與非退化情形通解的參數化表示；通過修正的塊Toeplitz向量方法，建立矩陣值Caratheodory函式類中非退化Nevanlinna-Pick插值問題的一類特殊解與矩陣值Caratheodory係數問題中一類特殊解的內在聯繫，由此得到這類Nevanlinna-Pick插值問題的極小w-熵插值式和相關塊Pick矩陣的極大行列式完備化問題的解。
