半單矩陣

半單矩陣

半單矩陣(semisimple matrix)是一種特殊矩陣,指最小多項式無重根的矩陣。各種特殊的矩陣除半單矩陣外還有三角矩陣、冪零矩陣、冪等矩陣和冪麼矩陣等。半單矩陣可以通過半單變換得到。

基本介紹

  • 中文名:半單矩陣
  • 外文名:semisimple matrix
  • 定義:指最小多項式無重根的矩陣
  • 類別:一種特殊矩陣
  • 一級學科:數學
  • 二級學科:矩陣
簡介,半單變換,相關特殊矩陣,三角矩陣,冪零矩陣,冪等矩陣,冪麼矩陣,

簡介

半單矩陣(semisimple matrix)是一種特殊矩陣,指最小多項式無重根的矩陣。與對角矩陣相似的n階矩陣A,存在n階可逆矩陣T,使TAT是對角矩陣。若A是數域P上的n階矩陣,且A的全部特徵值都屬於P,則A是半單矩陣的充分必要條件是:A的最小多項式無重根。復n階矩陣是半單矩陣的充分必要條件是:其最小多項式無重根。

半單變換

半單變換(semi-simple transformation)一類特殊的線性變換。設V是域P上的n維線性空間,
,若σ恰有n個線性無關的特徵向量,則稱σ為半單變換。半單變換關於基的矩陣是半單矩陣。線性變換σ為半單的充分必要條件是其最小多項式無重根。

相關特殊矩陣

三角矩陣

一種特殊矩陣。數域P上主對角線以下或以上的全體元素都是零的n階方陣:
分別稱為上三角形矩陣和下三角形矩陣,亦稱上三角矩陣和下三角矩陣,統稱三角形矩陣。主對角元全是1的三角形矩陣稱為特殊三角形矩陣;主對角元全為零的三角形矩陣稱為嚴格三角形矩陣。兩個n階上(下)三角形矩陣的和、積以及P中的一個數與上(下)三角形矩陣的乘積仍是上(下)三角形矩陣。

冪零矩陣

一種特殊矩陣。指冪零變換所對應的矩陣。亦即存在正整數m,使A=0的n階矩陣A。冪零矩陣是降秩矩陣。一個矩陣是冪零的充分必要條件是:它的特徵值全為零。若A=0,但A≠0,則E-A可逆,且
這時m稱為冪零矩陣A的冪零指數。

冪等矩陣

亦稱投影矩陣。一種特殊矩陣。指冪等變換所對應的矩陣。滿足A=A的n階矩陣A稱為冪等矩陣。冪等矩陣或者是單位矩陣,或者是奇異的。如果A是冪等矩陣,則
式中r(A)是A的秩。

冪麼矩陣

一種特殊矩陣。指冪麼變換所對應的矩陣。即存在正整數m,使A=E的n階矩陣A。冪麼矩陣A是可逆的,且其逆矩陣為A;A的特徵值的模均為1。當m=2時,若有A=E時,則A稱為對合矩陣,n階對合矩陣A的特徵值為1或-1,且

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