半單若爾當代數

半單若爾當代數

半單若爾當代數(Semisimple Jordan algebra )是若爾當代數結構理論研究中起重要作用的一類若爾當代數。半單代數是一類特殊的代數。

若爾當代數(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。

基本介紹

  • 中文名:半單若爾當代數
  • 外文名:Semisimple Jordan algebra
  • 領域:代數
  • 性質:半單代數
  • 目的:研究若爾當代數結構理論
  • 特徵:非結合代數
概念,若爾當代數,人物簡介,若爾當定理,半單代數,

概念

半單若爾當代數(Semisimple Jordan algebra )是若爾當代數結構理論研究中起重要作用的一類若爾當代數。域F上的若爾當代數稱為半單的,若它的根是零。若域F之特徵數為0,則F上的任意一個有限維半單若爾當代數A恆可惟一地表成A=A1⊕A2⊕…⊕An,其中Ai是A的理想(i=1,2,…,n),它們都是單的若爾當代數。

若爾當代數

若爾當代數(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。所謂非結合代數滿足若爾當恆等式,是指對它的任意元素x,y,恆有
。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數,理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的,最初的目的是推廣量子力學的公式。
若爾當代數(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的,最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數字系統”,但由Albert(1946年)更名為“若爾當代數”,他開始系統研究若爾當代數。
在抽象代數中,若爾當代數是一個不相關代數,其乘法滿足以下公理: xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。
若爾當代數中的兩個元素x和y的乘積也表示為x∘y,為了避免與相關關聯代數的乘積混淆。

人物簡介

若爾當是法國數學家。生於里昂,卒於巴黎。畢業於巴黎理工科大學,1861年獲博士學位。1873—1921年任教於母校和法蘭西學院,1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為彼得堡科學院通訊院士。擔任過《純粹與套用數學》雜誌編輯(1885—1921)。若爾當在代數學、分析學、函式論、拓撲學、集合論等方面都有較大的貢獻。他運用組合論的觀點探討了多面體的對稱性,對平面或n維空間的任意集合引入了外測度的概念;還建立了有界變差函式的概念,並證明這種函式可表為兩個增函式的差;在代數學方面,他系統地發展了有限群論及伽羅華理論,證明了著名的“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展了無限群的研究,首先用形如:
的線性變換來表示置換群。論證了所謂有限群定理,對於研究對稱群的子群、複數域上一般線性群的有限子群等具有重要意義。利用相似矩陣和特徵方程的概念,證明矩陣可化為標準型,現稱為“若爾當標準型。若爾當的名著《論置換與代數方程》(Traité des substitutions et des équations algébriques)於1870年首版,在數學界產生了很大的影響,長期被作為群論中的權威著作。若爾當的《分析教程》(Coursd'analyse 1887)是19世紀的標準教科書。這本書給出曲線的“若爾當定義”:由連續函式x=f(t),y=g(t)(t0≤t≤t1)表示的點集。並證明了拓撲學中的“若爾當定理”:一個簡單閉曲線將平面分為內、外兩部分。他的證明有缺陷,後來由維布倫補足(1905)。

若爾當定理

關於複平面上簡單閉曲線性質的一個著名定理。該定理斷言:複平面上的任意一條簡單閉曲線γ把複平面分成兩個區域,其中一個是有界的,稱為γ的內部;另一個是無界的,稱為γ的外部.γ是 兩個區域的共同邊界。該定理的結論十分直觀,但證明並不容易。若爾當(Jordan,M.E.C.)首先提出該定理,但他的證明有缺陷。維布倫(Veblen,O.)在1945年首先完成了對該定理的嚴格證明。

半單代數

半單代數是一類特殊的代數。指具有平凡根基的非平凡連通代數。例如,特殊線性群SL(n,K)就是一個半單代數。
一般指半單代數的同構分類。半單代數的同構類一一對應於二元組(Φ,Λ)的同構類,這裡Φ是一個抽象意義下的根系,而Λ是介於Φ的根格與抽象權格之間的一個在外爾群作用下穩定的格.Φ的根格Λr就是根的整線性組合所成的格;而抽象權格則定義為:
Λw={χ∈E|2(χ,α)/(α,α)∈Z,α∈Φ},
其中( , )是Φ張成的實空間中的一個外爾群不變的內積。若取定半單線性代數群G的一個極大環面T,則G對應的二元組是(Φ(G,T),X(T)).因此,半單線性代數群可先按照其根系的類型進行粗略分類(同宗分類)。例如,特殊線性群SL(n,K)是An-1型的,正交群SO(2n+1,K)是Bn型的,辛群Sp(2n,K)是Cn型的,正交群SO(2n,K)是Dn型的.當X(T)=Λr時,稱G為伴隨型的,它是所有與它同宗的代數群的同態像;當X(T)=Λw時,稱G為普遍型或單連通的,它是所有與它同宗的代數群的覆蓋。例如,SL(n,K)是單連通的,而射影線性群PGL(n,K)是與它同宗的伴隨群。若G的根系是不可分解的,則稱G為殆單的。伴隨型的殆單群是嚴格意義的單群。有限群X(T)/Λr稱為G的基本群。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們