若爾當定理

拓撲學中，若爾當曲線是平面上的非自交環路（又稱簡單閉曲線）。若爾當定理說明每一條若爾當曲線都把平面分成一個“內部”區域和一個“外部”區域，且任何從一個區域到另一個區域的道路都必然在某處與環路相交。該定理由奧斯瓦爾德·維布倫於1905年證明。

基本介紹

• 中文名：若爾當定理
• 外文名：Jorda theorem
• 分類：數理科學

簡介

若爾當定理的準確的數學表述如下：

設c為平面R上的一條若爾當曲線。那么c的像的補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的（內部），另外一個是無界的（外部）。c的像就是任何一個分支的邊界。

若爾當曲線定理表面上是明顯的，但要證明該定理則十分困難。對於較簡單的閉曲線，例如多邊形，是比較容易證明的，但要把它推廣到所有種類的曲線，包括無處可微的曲線如科赫曲線，便十分困難。該定理對於球面上的若爾當曲線也成立，但對於環面上的若爾當曲線則不成立。

第一個發現該定理的是伯納德·波爾查諾，他觀察到這不是一個自明的定理，而需要證明。第一個給出證明的是卡米爾·若爾當，該定理就是以它命名的（後來發現他的證明仍有漏洞）。過了超過半個世紀，奧斯瓦爾德·維布倫最終在1905年給出了一個滿意和嚴格的證明。後來又發現了一些其它的證明，有些較為簡單（但相對而言仍較為複雜）。

推廣

若爾當曲線定理可以推廣到更高的維數：

設X為從球面S到R的一個連續的單射。那么X的像的補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的（內部），另外一個是無界的（外部）。X的像是它們的公共邊界。

若爾當曲線定理還有另外一種推廣，它說明平面上的任何若爾當曲線，視為從圓S到平面R的映射，都可以延伸到平面的一個同胚。這個表述比若爾當曲線定理更強。這個推廣在更高的維數不成立，亞歷山大角球就是一個著名的反例。亞歷山大角球的補集的無界分支不是單連通的，因此亞歷山大角球的映射不能延伸到整個R。

若爾當曲線定理的另外一個推廣說明，如果M是R的任何緊緻、連通、無界的n維子流形，那么M便把R分成兩個區域：一個是緊的，另外一個不是緊的。