特殊若爾當代數

特殊若爾當代數(special Jordan algebra)是一種特殊類型的若爾當代數。它與某個結合代數有關係。

若爾當代數(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數字系統”，但由Albert（1946年）更名為“若爾當代數”，他開始系統研究若爾當代數。

基本介紹

• 中文名：特殊若爾當代數
• 外文名：special Jordan algebra
• 領域：代數
• 定義：特殊類型的若爾當代數
• 性質：與結合代數有關
• 提出者：若爾當

概念介紹

特殊若爾當代數(special Jordan algebra)是一種特殊類型的若爾當代數。它與某個結合代數有關係。設B是域F上的一個結合代數，F的特徵數不為2。於是，線上性空間B上規定：

則(B，+，°)是F上的一個若爾當代數，通常記為B+。域F上的非結合代數A，若同構於某個B+的子代數，則稱A為特殊若爾當代數。

若爾當代數

若爾當代數(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數字系統”，但由Albert（1946年）更名為“若爾當代數”，他開始系統研究若爾當代數。

在抽象代數中，若爾當代數是一個不相關代數，其乘法滿足以下公理： xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。

若爾當代數中的兩個元素x和y的乘積也表示為x∘y，為了避免與相關關聯代數的乘積混淆。

若爾當代數(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。所謂非結合代數滿足若爾當恆等式，是指對它的任意元素x，y，恆有及。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數，理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。

人物簡介

若爾當是法國數學家。生於里昂，卒於巴黎。畢業於巴黎理工科大學，1861年獲博士學位。1873—1921年任教於母校和法蘭西學院，1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為彼得堡科學院通訊院士。擔任過《純粹與套用數學》雜誌編輯(1885—1921)。若爾當在代數學、分析學、函式論、拓撲學、集合論等方面都有較大的貢獻。他運用組合論的觀點探討了多面體的對稱性，對平面或n維空間的任意集合引入了外測度的概念;還建立了有界變差函式的概念，並證明這種函式可表為兩個增函式的差;在代數學方面，他系統地發展了有限群論及伽羅華理論，證明了著名的“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展了無限群的研究，首先用形如：

的線性變換來表示置換群。論證了所謂有限群定理，對於研究對稱群的子群、複數域上一般線性群的有限子群等具有重要意義。利用相似矩陣和特徵方程的概念，證明矩陣可化為標準型，現稱為“若爾當標準型。若爾當的名著《論置換與代數方程》(Traité des substitutions et des équations algébriques)於1870年首版，在數學界產生了很大的影響，長期被作為群論中的權威著作。若爾當的《分析教程》(Coursd'analyse 1887)是19世紀的標準教科書。這本書給出曲線的“若爾當定義”：由連續函式x=f(t)，y=g(t)(t0≤t≤t1)表示的點集。並證明了拓撲學中的“若爾當定理”：一個簡單閉曲線將平面分為內、外兩部分。他的證明有缺陷，後來由維布倫補足(1905)。

特殊若爾當代數實例

給定一個關聯代數A，可以使用相同的底層加法向量空間來構造若爾當代數。請注意，若且唯若是交換代數時，關聯代數才是若爾當代數。如果不可交換，我們可以在A上定義一個新的乘法，使其交換，實際上使它成為Jordan代數。新的乘法x∘y滿足：

這定義了一個約旦代數，我們稱這些為若爾當代數，以及這些若爾當代數的任何次級代數，特殊若爾當代數。所有其他約旦代數被稱為特殊的若爾當代數。 Shirshov-Cohn定理指出，任何具有兩個發生器的若爾當代數是特殊的。與此相關，麥克唐納定理指出，在每個特殊的若爾當代數中，三個變數中具有一個變數中的一個並且消失的三個變數中的任何多項式都消失。

Hermitian 若爾當代數

如果（A，σ）是具有回歸σ的關聯代數，則如果σ（x）= x和σ（y）= y，則遵循

因此，通過歸一化（有時稱為隱性元素）固定的所有元素的集合形成的子代數，其有時表示為。

示例

1.一組自相關實數，複數或四元數矩陣滿足如下乘法：

形成特殊的若爾當代數。

2.一組3×3自相關矩陣在八次數上，同樣滿足乘法：

是一個二維的，特殊的若爾當代數。 這是阿爾伯特代數的第一個例子。

衍生和結構代數

約旦代數A的衍生形式是A的同態D，使得D（xy）= D（x）y + xD（y）。導數形成李代數der(A)。約旦身份意味著如果x和y是A的元素，那么將z代入到x(yz)-y(xz)的同態是推導。因此，A和der（A）的直接和可以形成一個稱為A，str（A）的結構代數的李代數。

一個簡單的例子由Hermitian Jordan代數H（A，σ）提供。在這種情況下，具有σ（x）= - x的A的任何元素x定義了導數。在許多重要的例子中，H（A，σ）的結構代數為A。