基本介紹
- 中文名：半單模
- 外文名：semi-simple module
- 領域：數學
- 別名：完全可約模
- 意義：由單子模生成的模
- 對應環：半單環
模的概念,半單模概念,半單環介紹,發展現狀,強t-半單模,
模的概念
模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：
μ： A→End(M)，a→aM.
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模.由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM.類似地，有右A模M，記為MA.若A有單位元1，且又滿足條件：
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模。
半單模概念
半單模(semi-simple module)亦稱完全可約模。由單子模生成的模。設A是有單位元的環，若A模M是它的單子模的和，則一定是它的某些單子模的直和，此時稱M是半單模。除環上任意模都是半單模。模M是半單的充分必要條件是，M的每個子模都是它的直和項。環A本身看做A模是半單的充分必要條件是，所有A模是半單的，此時環A稱為(阿廷)半單環。M是半單模的充分必要條件是rad M= 0，並且M的循環子模滿足降鏈條件。
半單環介紹
半單環是一種特殊的阿廷環。即冪零根為零的阿廷環。環R是半單阿廷環若且唯若左(右)正則模是半單模。常簡稱半單環。著名的韋德伯恩-阿廷定理給出：R是半單環的充分必要條件是R為有限個單阿廷環的直和，若不計順序則是惟一的。並且，單阿廷環同構於一個除環D上有限維向量空間的線性變換環。換言之，單阿廷環同構於某除環D上全矩陣環Dn，其中n是單阿廷環表為極小左理想的直和的長度。這一定理是對有限維半單代數結構定理的完美推廣。
發展現狀
模是一個代數系，它是向量空間的推廣，我們將向量空間的基域K換成環化就得到環R，就得到環R上模的概念。模是L.Kronecker在19世紀末提出來的，用於研究矩陣的標準形和處理微分方程組的一些問題，20世紀20年代，E.Noether也指出模在代數學上所起的作用。20世紀40年代以後，由於模的理論更進一步得到了發展，模在環論、群論、李代數、交換代數中占有非常重要的地位。
奇異子模和Goldie torsion子模送兩類子模是模論里的重要研巧課題么一，國內外許多著名的代數工作者在此基礎上開展了一系列的研究工作．奇異子模在子模、商模、直和下保持封閉，而Goldie torsion子模在子模、商模、直和以及本質擴張模下保持封閉。
1968年，Kaplansky引入baer環用來抽象Von Neuman代數和完全*－正則代數的各種性質。如果環R的任意非空子集的右零化子是由一個幕等元生成的，就稱R是baer環。1967年，Clark定義了：一個環R是quasi-Baer環，如果R的任意右理想的右零化子（作為右理想）是由一個幕等元生成的．對於quasi-Baer環概念的進一步延伸，Birkenmeier在給出了主理想quasi-Baer環，即p.q.-Bear環，稱環R是p.q.-Baer環，如果R的任意右主理想的右零化子（作為右理想）是由一個幕等元生成的。2004年，Roman在提出了boer模，如果環R的任意左理想在M中的右零化子是M的直和項，稱M是boer環。2010年，Tribak給出了dual-baer模：如果M的自同態環（End(M)）的任意右理想I是M的直和項。
強t-半單模
定義：如果M是t-半單模並且它的毎個非奇異循環子模mR(0≠m∈M)都是單模，就稱M是強t-半單模。
推論1：設M是強t-半單模，則：
（1）M的子模是強半單模。
（2）M的滿同態像是強t-半單模。
推論2：設M是R-模，則下列陳述是等價的：
（1）M是強t-半單換。
（2）M的每個非奇異循環子模mR(0≠m∈M)都是單模並且是M的直和項。
（3）M的每個非奇異循環子模mR(0≠m∈M)都是單模，每個非奇異有限生成子模是M的直和項。
推論3：設M是R-模。則M是強t-半單模若且唯若RadM是Z-torsion模，M的每個非奇異循環子模mR(0≠m∈M)都是單模且有弱補子模。
