漸近連續

定義

漸近連續是從連續性角度，為進一步刻畫可測函式性質而引進的概念。

設f(x)是閉區間[a,b]上的實函式，x₀∈[a,b]。如果存在(L)可測集E⊂[a,b]，使得x₀是E的全密點，f(x)在E上以x₀為連續點，則f(x)在點x₀處稱為漸近連續的。

對[a,b]上的幾乎處處有限的實函式f(x)，它在[a,b]上可測的充分必要條件是f(x)在[a,b]上幾乎處處漸近連續。

小孩身高的變化是個漸近連續的過程，身高h隨著時間f的變化而變化，若時間間隔較長，身高的變化明顯，但若時間間隔短，如1小時、半小時，小孩身高的變化就非常小；也就是說．從某一時刻t₀算起，當時間t的改變數△t很小時，身高的改變數△h也很小，當△t→0時，△h→0。

可以想像：小孩的身高不會發生“突變”現象，不會在某一t₀時刻身高從某一高度突然變到另一高度（如從1m竄到1.5m高度），這種現象反映在幾何上，就是曲線h=h(t)在t=t₀處有沒有斷裂，在t₀處漸近連續變化的曲線是不斷裂的。

設f是定義在可測集E上的實函式。如果對每一個實數，集E[f>a]恆可測（勒貝格可測），則稱f是定義在 E上的（勒貝格）可測函式。

設(X,F)為一可測空間，E是一個可測集。f: E→R*為定義在E上的函式。若對任意實數a，總有{x∈E: f(x)<a}∈F，則稱f為E上的F-可測函式（簡稱E上的可測函式）。

特別地，若可測空間取為是R上的Lebesgue可測空間。E是R中的Lebesgue可測集。則E上的可測函式成為Lebesgue可測函式。若可測空間取為R上的Borel可測空間，E是R中的Borel集，則E上的可測函式稱為Borel可測函式。