隨機微分方程的逼近

《隨機微分方程的逼近》是依託華中科技大學，由劉繼成擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：隨機微分方程的逼近
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉繼成
• 依託單位：華中科技大學

中文摘要

隨機微分方程的逼近誤差有兩類：強逼近和弱逼近。強逼近度量的是軌道的誤差，適用於濾波、檢驗估計等問題，其證明的關鍵工具是Gronwall不等式；弱逼近度量的是分布的誤差，適用於金融衍生證券的價格、矩估計、風險度量、期望效用、隨機微分方程的Lyapunov 指數等問題，其證明的主要步驟是利用Feynman-Kac公式將隨機微分方程解的泛函的期望表示為一橢圓偏微分方程（亦即Kolmogorov方程）的解，然後用Ito公式改寫誤差來估計，關鍵是要利用到解的適應性和馬氏性，並要求方程的係數光滑、試驗函式滿足一定的正則性條件。本項目將對通常方法不再適用的幾類方程研究它們的逼近問題，將著重研究圓環同胚群上擴散過程的強逼近，多值隨機微分方程的逼近，非光滑係數隨機微分方程的弱逼近，分數噪聲驅動的隨機微分方程的逼近，隨機偏微分方程的弱逼近。

結題摘要

通過本項目的實施，我們主要研究了下面幾類隨機微分方程的逼近問題。研究了圓環同胚群上擴散過程的逼近，在非光滑係數條件下得到了Euler逼近在幾乎處處收斂意義下的收斂速度；研究了不連續係數隨機微分方程的Wong-Zakai逼近，證明了非光滑係數隨機微分方程和Fokker–Planck方程的適定性。研究了分數噪聲驅動的隨機微分方程爆破時的逼近問題；研究了非高斯Levy過程驅動的耦合隨機微分方程的逼近，證明了當係數參數趨於無窮大時耦合系統的解收斂於相應Marcus方程的解，也證明了耦合系統的cocycle性質、平穩軌道、隨機吸引子的存在性；研究了非高斯Levy噪聲對腫瘤生長模型的量化影響，也模擬了這些量化指標以及出現分叉現象與參數的依賴關係。研究了兩尺度隨機偏微分系統的平均原理，證明了系統的慢變數在均方收斂以及一致L^p收斂意義下收斂於其約化方程的解；研究了由隨機偏微分方程和隨機常微分方程耦合系統的逼近性質，以及多尺度隨機偏微分方程不變流形的存在性；研究了非光滑係數的多值隨機微分方程的大偏差原理，轉換原理和支撐定理，得到了非Lipschitz條件下一維多值隨機隨機微分方程解的存在唯一性，連續模和Denjoy漸近連續性。