洛倫茲變換

洛倫茲變換（Lorentz transformation）是狹義相對論中兩個作相對勻速運動的慣性參考系（S和S′）之間的坐標變換，是觀測者在不同慣性參考系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家H·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。

基本介紹

• 中文名：洛倫茲變換
• 外文名：Lorentz transformation
• 適用範圍：數學，物理
• 類別：坐標變換

基本理論

洛倫茲變換是狹義相對論中兩個作相對勻速運動的慣性參考系(S和S′)之間的坐標變換。若S系的坐標軸為X、Y和Z，S′系的坐標軸為X′、Y′和Z′。為了簡單，讓X、Y和Z軸分別平行於X′、Y′和Z′軸，S′系相對於S系以不變速度v沿X軸的正方向運動，當t=t′ = 0 時，S系和S′系的原點互相重合。同一個物理事件在S系和S′系中的時空坐標由下列關係式相聯繫：

式中 ， ；c為真空中的光速。其逆變換形式為

這個關係式稱為洛倫茲變換。不同慣性系中的物理定律在洛倫茲變換下數學形式不變，它反映了空間和時間的密切聯繫，是狹義相對論中最基本的關係。

研究歷史

19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。

由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的絕對靜止的慣性參考系中成立，這個參考系就是以太。其它參考系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參考系相對以太參考系的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗測量不到地球相對於以太參考系的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克耳孫-莫雷實驗。根據他的構想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，以太（即空間介質）長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上的光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。

1905年以前已經發現一些電磁現象與經典物理概念相牴觸，它們是：①邁克耳孫–莫雷實驗沒有觀測到地球相對於以太的運動。②運動物體的電磁感應現象表現出相對性——是磁體運動還是導體運動其效果一樣。③電子的慣性質量隨電子運動速度的增加而變大。此外，電磁規律（麥克斯韋方程組）在伽利略變換下不是不變的，即是說電磁定律不滿足牛頓力學中的伽利略相對性原理。修改和發展牛頓理論使之能夠圓滿解釋上述新現象成為19世紀末、20世紀初的當務之急。以H.洛倫茲為代表的許多物理學家在牛頓力學的框架內通過引入各種假設來對牛頓理論進行修補，最後引導出了許多新的與實驗結果相符合的方程式，如時間變慢和長度收縮假說、質速關係式和質能關係式，甚至得到了洛倫茲變換。所有這些公式中全都包含了真空光速。如果只為解釋已有的新現象，上述這些公式已經足夠，但這些公式分別來自不同的假說或不同的模型，而不是共同出自同一個物理理論。而且，使用牛頓絕對時空觀來對洛倫茲變換以及所含的真空光速進行解釋時卻遇到了概念上的困難。這種不協調的狀況預示著舊的物理觀念即將向新的物理觀念的轉變。在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅是數學上的輔助手段，並不包含相對論的時空觀。愛因斯坦洞察到解決這種不協調狀況的關鍵是同時性的定義，而牛頓時空理論（或伽利略變換）中的時間沒有辦法在現實世界中實現。為使用光信號對鐘，愛因斯坦假定了單向光速是個常數且與光源的運動無關（光速不變原理）。愛因斯坦以觀察到的事實為依據，把伽利略相對性原理直接推廣為狹義相對性原理，立足於這兩條基本原理，著眼於修正運動、時間、空間等基本概念，重新導出洛倫茲變換，並賦予洛倫茲變換嶄新的物理內容。在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關係式，狹義相對論的運動學結論和時空性質，如同時性的相對性、長度收縮、時間延緩、速度變換公式、相對論都卜勒效應等都可以從洛倫茲變換中直接得出。如果速度v比光速с小很多，而且被觀察的物體的運動速度也比光速小很多，則洛倫茲變換就與伽利略變換近似一樣。對於日常的力學現象，使用伽利略變換就可以了。然而，對於運動物體的電磁現象，雖然物體的運動速度比光速小很多，但由於電磁相互作用的傳播速度是光速，所以仍必須使用洛倫茲變換。

數學形式

洛倫茲提出洛倫茲變換是基於以太存在的前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參考系，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參考系之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的，即：

其中x、y、z、t分別是慣性坐標系S下的坐標和時間，x'、y'、z'、t'分別是慣性坐標系S'下的坐標和時間。v是S'坐標系相對於S坐標系的運動速度，方向沿X軸。

由狹義相對性原理，只需在上述洛倫茲變換中把v變成－v，x'、y'、z'、t'分別與x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式：

洛倫茲變換是高速運動的巨觀物體在不同慣性參考系之間進行坐標和時間變換的基本規律。當相對速度v遠小於光速c時，洛倫茲變換退化為經典力學中的伽利略變換：

x'=x－ut　y'=y　z'=z　t'=t

所以，狹義相對論與經典力學並不矛盾，狹義相對論將經典力學擴展到了巨觀物體在一切運動速度下的普遍情況，經典力學只是相對論在低速時（v遠小於c）的近似情況。一般在處理運動速度不太高的物體時（如天體力學中計算行星的運行軌道），不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與經典情況相差不大。當處理高速運動的物體時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。

初等數學推導

基本公理

狹義相對性原理：一切物理定律（力學定律、電磁學定律以及其他相互作用的動力學定律）在所有慣性系中均有效；或者說，一切物理定律的方程式在洛倫茲變換下保持數學形式不變。

光速不變原理：單向光速是個常數且與光源的運動無關。換言之，在所有慣性系中，真空中的光速不變。

推導過程

洛倫茲變換可以由狹義相對性原理和光速不變原理推導出來。下面根據這兩個基本原理，推導坐標的變換式。

狹義相對論

構想有兩個慣性坐標系S系、S'系，S'系的原點O'相對S系的原點O以速率v沿X軸正方向運動。任意一事件在S系、S'系中的時空坐標分別為（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。t、t'分別是S系和S'系時刻。兩慣性坐標系重合時，分別開始計時.

若x= 0，則x'+vt' =0。這是變換須滿足的一個必要條件，故猜測任意一事件的坐標從S'繫到S系的變換為

x=γ（x'+vt'） (1)

式中引入了常數γ，命名為洛倫茲因子。

引入相對性原理，即不同慣性系的物理方程的形式應相同。故上述事件坐標從S繫到S'系的變換為

x'=γ（x－vt） (2)

y與y'、z與z'的變換可以直接得出，即

y'=y (3)

z'=z (4)

把（2）代入（1），解t'得

t'=γt +(1－γ) x/γv (5)

在上面推導的基礎上，引入光速不變原理，以尋求γ的取值。

由重合的原點O（O'）發出一束沿X軸正方向的光，設光束的波前坐標為（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根據光速不變原理，有

X=cT (6)

X'=cT' (7)

相對論的光速不變原理得出：坐標值X等於光速c乘時刻T，坐標值X'等於光速c乘時刻T'。（1）（2）相乘得

xx'=γ(xx'－x'vt+xvt'－vtt') (8)

以波前這一事件作為對象，則（8）寫成

XX'=γ(XX'－X'VT+XVT'－VTT') (9)

（6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子

γ= (1－（v/c）) (10)

（10）代入（5），化簡得

t'=γ(t－vx/c) (11)

把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S繫到S'系的洛倫茲變換

x'=γ(x－vt)，

y'=y，

H.A.洛倫茲

z'=z，

t'=γ(t－vx/c) (12)

根據相對性原理，由（12）得S'繫到S系的洛倫茲變換

x=γ(x'+vt')，

y=y'，

z=z'，

t=γ(t'+vx'/c) (13)

洛倫茲變換結合動量定理和質量守恆定律，可以得出狹義相對論的所有結論。

愛因斯坦在1905年提出的狹義相對論（一種新的平直時空理論），出發點是兩條基本假設：狹義相對性原理和光速不變原理。理論的核心方程式是洛倫茲變換。狹義相對論預言了牛頓經典物理學所沒有的一些新效應（相對論效應），如時間膨脹、長度收縮、橫向都卜勒效應、質速關係、質能關係等，它們已經獲得大量實驗的直接證明。狹義相對論已經成為現代物理理論的基礎之一：一切微觀物理理論（如基本粒子理論）和巨觀引力理論（如廣義相對論）都滿足狹義相對論的要求。這些相對論性的動力學理論已經被許多高精度實驗所證實。

群論推導

相對性原理和光速不變的物理原理是狹義相對論通常的出發點。實際上洛倫茲變換並不取決於光的物理性質——最重要的是粒子間的作用的定域性：一粒子對另外一粒子的影響作用不能任意快地傳遞，而作用傳遞的極限速度必須是在所有參考系一樣的速度，此速度等於真空中光速。

所有參考系間轉換以轉換疊加作為乘法組成一個群。它們符合以下公理：

1. 閉合：兩個參考系轉換疊加得另外一轉換。以[K→K']寫K到K'。對於任意三個參考系

[K→K''] = [K→K'][K'→K''] 。

2. 結合律：[K→K'] ([K'→K''][K''→K''']) = ([K→K'] [K'→K''])[K''→K'''] 。

3. 單位元：存在保留參考系的單位轉換 [K→K] 。

4. 逆元：對任何參考系轉換 [K→K'] 都有返回原本參考系的轉換[K'→K] 。

符合群公理的轉換矩陣。考慮兩個參照系K和K'，K'的原點相對K原點速度為v（設運動方向為Z方向，以下忽略無關的X和Y方向）。出於時空的均勻性，洛倫茲變換必須保留慣性運動，因此它必須是一個線性轉換而可以以矩陣表示：

以上Λ_{i j}是有待計算的矩陣元，它們是相對速度v的函式。

參考系K'的原點O'在參照系K的運動：

得 Λ₂₁ + vΛ₂₂ = 0

同樣參照系K的原點O在參照系K'的運動：

得 Λ₂₁+vΛ₁₁= 0

因此主斜兩項相等且可稱為γ ≡Λ₁₁= Λ₂₂。還有 Λ₂₁= －vγ ：

因為t' =γt，γ的意義就是時間膨脹的因子。因為時空的各向同性，γ只能取決於速度而不取決於方向。也就是說γ(－v)=γ(v)。群元可逆因此取逆矩陣：

當然逆轉換隻等同於反方向同速的轉換。運用上段γ的性質

每項比較得到：γ+Λ₁₂vγ= 1

從群的閉合性要求連續兩次轉換等於以速度和的單次轉換，也就是說兩個矩陣的積：

必須擁有同樣的矩陣型式。這意味著主斜線上兩項相等。因此以下比例：

必須是一個和參考系相對速度無關的常數。 插入較前等式得的定義：

γ= (1 +kv)

而最廣泛的洛倫茲變換矩陣型式為：

這裡c=∣k∣就是轉換的不變速度。如果k >0，c是一個速度的下限，明顯與物理現實不符，因此k≤0。但還可以分成k= 0和k < 0兩種情形：

k= 0得伽利略變換矩陣：

在此情況下時間是絕對的：t= t′ 。

在更一般c = (－k) 小於無窮大的情況就得到洛倫茲變換矩陣：

幾何理解

在平面幾何，一個矢量在某坐標係為（x，y）。如果在原點以θ旋轉原本坐標軸做新的坐標系（x'，y'）。在新系統內，同一矢量坐標為：

雖然矢量的坐標在不同坐標系裡面不一樣，它的長度不變：(x')+(y')= (x)+(y) 。如果以另外角度φ再旋轉一次，那矢量新坐標和原坐標關係為：

即連續的轉角可加。

可以相似般把洛倫茲變換看成一種類似的坐標旋轉。定義快度w= arctanhβ。那以上洛倫茲變換公式可以寫成（略去不受影響的x和x）：

也就是說，洛倫茲變換數學上等同於雙曲角旋轉。此坐標“旋轉”中類似“長度”的不變數是：

(x')－(x')= (x)－(x) 。

四維矢量形式

利用 w=ict 將事件坐標 (t，x，y，z) 改寫為四維矢量 (w，x，y，z)，則其模方是洛倫茲不變數（時空距離的相反數），此時洛侖茲變換成為該矢量的旋轉變換。用方程組描述，就是

也可以用矩陣的語言描述：