考慮數z = x + jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j2是實數。
選取j2 = − 1，得到一般複數。取 + 1的話，便得到雙曲複數。
雙曲複數定義,共軛、範數,除法,基,幾何,歷史,
雙曲複數定義
考慮數z = x + jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j2是實數。
選取j2 = − 1，得到一般複數。取 + 1的話，便得到雙曲複數。
定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：
(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v)
(x + jy)(u + jv) = (x + jy)(u) + (x + jy)(jv) = xu + jyu + jxv + j2yv = (xu + yv) + j(xv + yu)
共軛、範數
對於z = x + jy，其共軛值z * = x − jy。對於任何雙曲複數z,w，
(z + w) * = z * + w *
(zw) * = z * w *
(z * ) * = z
可見它是自同構的。
定義內積為 。若 ，說z,w（雙曲）正交。
雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：
。
這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變,。
除法
除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。
雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。
基
雙曲複數有哪些冪等元？
列方程(x + jy)2 = (x2 + y2) + 2xyj。有四個解：1,0,s = (1 − j) / 2,s * = (1 + j) / 2。
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s * 。
若將z = ae + be * 表示成(a,b)，雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此，在這個基里，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。
共軛可表示為(a,b) * = (b,a)。
幾何
在R，對於非零的a，點集 是雙曲線。左邊和右邊的會經過a和 − a。a = 1稱為單位雙曲線。
共軛雙曲線是 ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。
歐拉公式的相應版本是ejθ = cosh(θ) + jsinh(θ)。
歷史
1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。
