梯度向量場

梯度向量場是由希爾伯特流形上的Cⁿ泛函的梯度所形成的切向量場。梯度向量場生成的動力系統比較簡單，它們沒有周期軌，而且所有摩爾斯-斯梅爾梯度向量場（一類簡單的結構穩定的向量場）在所有梯度向量場是開稠的。

基本介紹

• 中文名：梯度向量場
• 外文名：gradient vector field
• 適用範圍：數理科學

定義

設 是 n 維歐幾里得空間 上的一個光滑函式。由 f 所確定的上的梯度向量場 定義為

其中

為 f 的梯度。這裡之所以出現負號是一種習慣用法。

性質

一般的，設 M 是一個閉黎曼流形， 是一個光滑函式。由 f 所確定的 M 上的梯度向量場由

確定，其中 是由黎曼度量確定的內積，是切空間和餘切空間的對偶。在局部坐標 下表示為

其中 是度量矩陣的逆矩陣。

動力系統

梯度向量場生成的動力系統比較簡單，比如，它們一定沒有周期軌。而且所有摩爾斯-斯梅爾梯度向量場（一類簡單的結構穩定的向量場）在所有梯度向量場是開稠的。