曲線積分與路徑無關性

對於滿足一些條件的曲線，起點和終點的位置固定，沿不同的路線積分，其積分值相同，即曲線積分只與起點和終點有關，與路線的選取無關。

基本介紹

• 中文名：曲線積分與路徑的無關性
• 適用領域：微積分
• 套用學科：數學

定律定義

二維的情形

（1）平面上的單連通區域與復連通區域

設 是平面 上的區域。如果 內的任何封閉曲線 所圍成的區域 ，恆有 ，則 稱為單連通區域；否則， 稱為復連通區域。

（2）平面曲線積分與路徑無關的條件

定理1設 是平面 上的單連通閉區域，函式 與 在 內具有一階連續偏導數，則下列 兩兩等價

沿 內任何光滑閉曲線 ，恆有

對 內的曲線積分 ，只與這光滑曲線 的起點 、終點 有關，而與路徑無關，即恆有

在 內是某一個函式 的全微分，即在 恆有

在 內每一點處恆有

三維的情形

（1）曲面單連通區域與曲面復連通區域

設 是 空間的區域。如果 內的任何簡單封閉曲線 ，都存在以 為邊界的曲面 ，使得 ，則 稱為曲面單連通區域；否則， 稱為曲面曲面復連通區域。

（2）空間曲線積分與路徑無關的條件

定理2 設 是平面 空間的曲面單連通閉區域，函式 、 、 在 內都具有一階連續偏導數，則下列 兩兩等價

沿 內任何光滑閉曲線 ，恆有

對 內任何一個光滑曲線段 ，曲線積分

僅與 的起點 、終點 有關，而與路徑無關。

在 內是某一個函式 的全微分，即在內恆有

在 內每一點處恆有

套用領域

上述兩類定理條件中要求 和 為單連通區域是很重要的。如下面的例子：

例 1 計算 ，其中 為任一不包含原點的閉區域 的邊界曲線，分段光滑.

解 因為

在區域 上連續且相等，於是

所以根據格林公式即可得

倘若 為繞原點一周的封閉曲線，則函式 ， 只在剔除原點外的任何區域 上有定義，所以 必含在某個復連通區域內。這時它不滿足定理1的條件，因而就不能保證 成立。事實上，設 為繞原點一周的圓

則有

若 ， 滿足定理1的條件，則由上述證明可看到二元函式

具有性質

它與一元函式的原函式相仿。所以我們也稱 為 的一個原函式。