斯通空間

在拓撲結構和相關的數學領域，斯通空間是一個非空的緊湊型完全不連線的豪斯多夫空間。這樣的空間也被稱為無限空間。他們以馬歇爾·哈維·斯通（Marshall Harvey Stone）的名字命名。

布爾代數的斯通表示定理的一種形式表明，每個布爾代數與斯通空間的clopen集合的布爾代數是同構的。 這種同構在布爾代數和斯通空間的類別之間形成類別理論二元性。

基本介紹

• 中文名：斯通空間
• 外文名：stone space
• 別名：無限空間
• 領域：數學
• 命名來源：馬歇爾·哈維·斯通
• 相關詞：布爾代數

定義

定義1

若拓撲空間X的開集U的閉包仍為開集，則X為斯通空間。

定義2

斯通空間(Stone space)一類特殊的拓撲空間。

設L是完全赫廷代數。若L的全體緊元的集合K(L)是L的子格，並且L的元都可以表示為K(L)中元的並，則稱L是凝聚的。

設(X，Ω(X))是拓撲空間。若(X，Ω(X))是索伯列夫空間，並且Ω(X)作為完全赫廷代數是凝聚的，則稱(X，Ω(X))是凝聚空間。設(X，Ω(X))與(Y，Ω(Y))是兩個拓撲空間，

是連續映射，對於任意U∈Ω(Y)，有f^(-1)(U)∈Ω(X)，記f：Ω(Y)→Ω(X)。若f^(-1)是保有限交與任意並的，並且將Ω(Y)中的緊元映為Ω(X)中的緊元，則稱f為凝聚映射。

若拓撲空間X是凝聚的豪斯多夫空間，則稱X是斯通空間。

拓撲空間X是斯通空間，若且唯若X是緊的、零維的T₀空間，若且唯若X是緊的、豪斯多夫和全不連通的。

斯通空間在研究布爾代數的表示定理中起著重要的作用。以斯通空間為對象，凝聚映射為態射的範疇稱為斯通空間範疇。以布爾代數為對象，格同態為態射的範疇稱為布爾代數範疇。關於布爾代數的斯通表示定理斷言：布爾代數範疇與斯通空間範疇是對偶等價的。

人物簡介

馬歇爾·哈維·斯通（Marshall Harvey Stone）（1903年4月8日 - 1989年1月9日）是美國數學家，為實際函式，功能函式，拓撲和布爾代數研究做出了貢獻。

斯通是Harlan Fiske Stone的兒子，他是1941年至1946年的美國首席大法官。馬歇爾·斯通（Marshall Stone）的家人希望他成為像他父親那樣的律師，但他在哈佛大學本科生時就喜歡數學。他完成了哈佛博士學位。在1926年，由George David Birkhoff監督的微分方程論文。在1925年至1937年間，他在哈佛大學耶魯大學和哥倫比亞大學教書。 1937年，斯通被晉升為哈佛全職教授。

在第二次世界大戰期間，斯通把研究列為“海軍作戰辦公室”和美國戰區部長“辦公室主任”的一部分。 1946年，他成為芝加哥大學數學系主任，直到一九五二年，他一直擔任這所大學的教授，直到1968年，他在麻薩諸塞州阿默斯特大學任教，直到1980年。

他在1946年加入的部門處於低谷狀態，由於Eliakim Hastings Moore的領導地位，20世紀之交可能是美國最佳數學系。史蒂芬·史密斯在芝加哥事務部門的工作重點突出，主要是通過僱傭Paul Halmos，AndréWeil，Saunders Mac Lane，Antoni Zygmund和Shiing-Shen Chern一起工作。

拓撲空間

在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。

設X是一個集合，O是一些X的子集構成的族，則(X,O)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：

1. 空集和X屬於O，

2.O中任意多個元素的並仍屬於O，

3.O中有限個元素的交仍屬於O。

這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set）。我們也稱O是X上的一個拓撲。

豪斯多夫空間

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做 T2 空間和分離空間的原因。

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1 空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，若且唯若它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是說獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，若且唯若它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

索伯空間

索伯空間是一類特殊的拓撲空間。設X是拓撲空間，A是X的非空閉集。若對於X的任意閉集B與C，由A=B∪C可推出A=B或A=C，則稱A是X的既約閉集。若對於X的任意既約閉集A，存在A的惟一的稠點a，即存在惟一的a∈A，使得A={a}，則稱X是索伯空間.豪斯多夫空間是索伯空間。索伯空間是T₀空間。存在X是T₁空間但不是索伯空間的例子。若L是完全格，σ(L)是L上的斯科特拓撲，上確界運算元：

sup： (L，σ(L))×(L，σ(L))→(L，σ(L))

是連續的，則(L，σ(L))是索伯空間.特別地，當L是連續格時，(L，σ(L))是索伯空間。索伯空間在連續格的譜理論中有重要的作用。