基本介紹
- 中文名：格同態
- 外文名：homomorphism of lattices
- 領域：代數
- 作用：刻畫格的性質
- 定義：既是交同態，又是並同態
- 格到自身：格自同態、格自同構
概念介紹,格論,同態,自同態,同構,自同構,
概念介紹
格同態(homomorphism of lattices)是刻畫格結構的重要方法之一。設L1，L2是格，a，b∈L1，f是L1到L2的映射，若：
f(a∧b)=f(a)∧f(b)，
則稱f為交同態；對偶地可定義並同態。若f既是交同態又是並同態，則稱f為格L1到格L2的格同態。若格同態f是單射，則稱f為L1到L2的格嵌入。若格同態f既是單射又是滿射，則稱f為L1到L2的格同構。若L1和L2是有界格，且格同態f使得f(0)=0，f(1)=1，則稱f為{0，1}格同態。同樣可定義{0}格同態、{0，1}格嵌入。格L到自身的格同態、格同構稱為格自同態、格自同構。
格論
格論論述次序及包含的性質，是布爾代數的推廣，現已成為代數的重要組成部分，並在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的套用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數運算∨和∧，這兩個代數運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律);(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律);(3)a ∨交換律;(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結合律);(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關係。格的種類有分配格、模格、完全格等。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。 稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
自同態
指從群胚，么半群，群，環到其自身中的同態，向量空間在自身中的線性映射，等等。
設G為關於加法的交換群。賦以加法及法則(f，g)↦g°f的G的全體自同態之集是一個環。
設E為交換體K上的向量空間.賦以法則(f， g)↦g°f， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E).元素g°f仍記為gf.A-模的情形是類似的。
同構
設E與F為兩個群胚，兩個么半群，兩個群，兩個環，兩個向量空間，兩個代數或兩個酉代數. 稱從E到F中的映射f是同構，如果f有逆映射，並且f與f是兩個同態。可以證明，任一雙同態是同構。
設E與F為兩個有序集。稱從E到F中的映射f是同構，如果它存在逆映射，並且f與f-1都是遞增的。 即是說，對E的任一元素偶(x，y)，關係x≤y與f(x)≤f(y)等價。 在E與F皆為全序集的情況下，可以證明任一雙同態是同構。例如， 指數函式x↦ex是從實數加法群R到嚴格正實數乘法群R*+上的同構。 逆同構是對數函式x↦lnx. 二者都是遞增的，這兩個雙射也是有序集的同構。
自同構
自同構是數學結構的元素的一個保持結構的排列。
賦以合成法則(f，g)↦g°f後，E的自同構集是一個群，自然地稱為E的自同構群，記為Aut(E)。例如，設E為交換體K上的向量空間。 E的同位相似是自同構，若且唯若它的比不為零. ——現假定E為有限維的。為使E的自同態是自同構，必須且只須它是單射，或是雙射。
