指數方程

指數方程

指數方程(exponential equation)是一種超越方程.指含底是常數而指數里含有未知數的項,但不含有其他超越式的方程。

也可以將指數方程定義為:在指數里含有未知數的方程.這個定義與上面定義不同之處是沒有“底數是常數”的限制以及允許含有其他超越式.因此,這樣定義指數方程包含冪指方程和含有其他超越式的方程。

基本介紹

  • 中文名:指數方程
  • 外文名:exponential equation
  • 表達式:a^x=b
  • 套用學科:數學
  • 定義:底是常數而指數含有未知數
  • 關鍵:化為一元一次、一元二次方程
  • 解法:4種
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定義

指數方程(exponential equation)是在指數里含有未知數的方程叫做指數方程。
指數方程
圖1 指數方程

反函式

對數方程:在對數符號後面含有未知數的方程。

基本思想

化同底或換元

例題

方程(1/2)^x=x,x的解為
a.(1/10,1/5)
b.(3/10,2/5)
c.(1/2,7/10)
d.(9/10,1)
解這種題目有兩種方法。一、二分法求方程的解。把方程變形得到:(1/2)^x-x=0,設函式Y=(1/2)^x-x,那么解這個方程也就是要求Y=0的時候X的值,也就是求函式Y=(1/2)^x-x與X軸交點的橫坐標,畫圖後可以看出只有一個解。那么假設這個解為A,那么對於大於A的數M和小於A的數N,必定有f(M)*f(N)<0,仔細想想,點(A,0)在X軸上,它兩邊的函式一邊大於0,一邊小於0。隨便帶入果兩個比較簡單的數,求函式值,如果一正一負,那么f(M)*f(N)<0,A就必定在(M,N)區間內,取M和N的中點,算函式值,看這個函式值是大於0還是小於0,再與N或M組成一個區間,A必定在這個區間內,再重複這種操作,就可以求出解的很精確的數值。二、這是選擇題,把答案帶入檢驗也可以。分別把四個選項的兩個數帶入上述函式,看其乘積是否小於0,如果是,根就在這個區間內。檢驗之後,只有C符合。所以選C。

解題關鍵

如何將指數方程化歸為一元一次、一元二次方程。在化歸過程中有時兩邊化同底,有時兩邊取對數,有時恰當變形後換元,充分體現了化歸思想和熟悉化解題原則。

解法

(1)方程的解法:形如
的方程,方程的解是
(2)方程的解法:形如
的方程,將方程化為f(x)=g(x)。
(3)方程的解法:形如
的方程,將方程化為f(x)lga=g(x)lgb。
(4)方程的解法: 形如
的方程,設
方程可化為At+Bt+C=0。

對比

對數方程:在對數符號後面含有未知數的方程。
冪函式:指數為常數,底數含有未知數的方程。
指數方程
圖2 指數與對數對比圖

套用——解Burgers-BBM方程

根據非線性Burgers-BBM方程的特點,利用指數函式展開法及齊次平衡原理,通過一個變換技巧,並藉助Maple數學軟體強大符號運算功能,簡捷地獲得了Burgers-BBM方程的行波解、孤立波解及三角函式周期解.並用Maple軟體獲得3個典型的波形圖。

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