《微積分（上）》是電子工業出版社出版圖書，作者馬同學。
基本介紹
- 中文名：微積分（上）
- 作者：馬同學
- 出版時間：2024年1月
- 出版社：電子工業出版社
- 頁數：332 頁
- ISBN：9787121465475
- 定價：139 元
- 開本：16 開
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
《微積分（上）》通過圖解的形式，在邏輯上穿針引線，講解了大學公共課程“高等數學（微積分）”中與單變數函式相關的知識點，也就是經典《高等數學》（上冊）教材中的絕大多數知識點。這些知識點是相關專業的在校學生及考研人士必須掌握的，也是相關從業人員深造所應了解的。
《微積分（上）》圍繞“線性近似”，講解了極限、導數、微分、中值定理、洛必達法則、泰勒公式、極值、最值、定積分、牛頓-萊布尼茨公式、微分方程求解等知識，邏輯上層層遞進，再輔以精心挑選的例題、生活案例等，大大降低了學習者的學習門檻。
圖書目錄
第1章 引言1
1.1 克卜勒第二定律 1
1.2 線性近似的思想 2
1.3 古典微積分 3
1.4 古典微積分的問題 4
第2章 函式與極限 6
2.1 柯西的數列極限 6
2.1.1 用數列來表示矩形逼近曲邊梯形這一過程 6
2.1.2 柯西的數列極限 9
2.1.3 無窮大符號 10
2.1.4 阿基里斯悖論 10
2.1.5 古典微積分問題的解決 12
2.2 魏爾斯特拉斯的數列極限 13
2.2.1 魏爾斯特拉斯的數列極限介紹 14
2.2.2 數列極限的另外一種定義 20
2.3 數列極限的性質 22
2.3.1 數列極限的唯一性 23
2.3.2 收斂數列的有界性 24
2.3.3 收斂數列的保號性 26
2.3.4 收斂數列的子數列 27
2.4 趨於無窮的函式極限 28
2.4.1 趨於無窮、正無窮、負無窮的函式極限28
2.4.2 無窮極限存在的充要條件 34
2.5 一般的函式極限 35
2.5.1 飛矢不動 35
2.5.2 鄰域、去心鄰域以及一般的函式極限37
2.5.3 單側極限 41
2.5.4 極限存在的充要條件 43
2.5.5 小結 45
2.6 無窮小45
2.6.1 極限和局部 45
2.6.2 無窮小的定義和意義 47
2.6.3 極限與無窮小 49
2.7 無窮大50
2.7.1 正無窮大、負無窮大和無窮大的定義50
2.7.2 無窮小與無窮大 52
2.8 極限的性質 54
2.8.1 極限的唯一性 55
2.8.2 極限的局部有界性 55
2.8.3 極限的局部保號性 56
2.9 海涅定理 59
2.9.1 海涅定理的幾何意義 60
2.9.2 xn ̸= x0 61
2.9.3 海涅定理的例題 62
2.10 極限的運算法則 64
2.10.1 無窮小的運算法則 64
2.10.2 極限的各種運算法則 66
2.10.3 拋物線下的面積 71
2.11 夾逼定理 72
2.12 複合函式的極限 78
2.13 漸近線84
2.13.1 水平漸近線 84
2.13.2 鉛直漸近線 85
2.13.3 斜漸近線 86
2.14 單調有界數列必有極限 89
2.14.1 單調數列和單調函式 89
2.14.2 單調有界準則 90
2.14.3 歐拉數e 90
2.14.4 歐拉數e 的現實意義 93
2.14.5 自然底數 94
2.14.6 歐拉數e 的例題 95
2.15 無窮小的比較 95
2.15.1 具體的無窮小的比較 95
2.15.2 等價無窮小 96
2.16 函式的連續性 99
2.16.1 連續的定義 99
2.16.2 左連續、右連續 102
2.16.3 連續函式 102
2.16.4 點連續 105
2.17 函式的間斷點 106
2.18 連續函式的運算與初等函式的連續性 109
2.18.1 和、差、積、商的連續性 109
2.18.2 反函式的連續性 110
2.18.3 複合函式的連續性 111
2.18.4 初等函式的連續性 113
2.18.5 極限求解的例題 113
2.19 閉區間上連續函式的性質 114
2.19.1 最值和極值 114
2.19.2 有界性與最大值最小值定理 116
2.19.3 零點定理 117
2.19.4 介值定理 117
2.19.5 通過極限求出圓的面積 119
第3章 微分與導數 120
3.1 微分與線性近似 120
3.2 通過導數求出微分 123
3.2.1 微分的定義 123
3.2.2 導數的定義 128
3.2.3 左導數、右導數 129
3.2.4 連續與可導 131
3.2.5 微分與切線 133
3.2.6 割線與切線 133
3.2.7 圓周率等於4 134
3.2.8 微分與導數的符號 136
3.3 常用的一些導函式 136
3.4 函式和、差、積、商的求導法則 140
3.5 複合函式的導函式 142
3.5.1 鏈式法則 142
3.5.2 關於鏈式法則的常見誤解 145
3.6 反函式的導函式 145
3.7 隱函式的導函式 149
3.7.1 函式、顯函式和隱函式 149
3.7.2 局部的隱函式 151
3.7.3 對數求導法 153
3.8 參數方程的導函式與相關變化率 154
3.8.1 參數方程的導函式 154
3.8.2 相關變化率 156
3.9 高階導數 157
3.10 小結 159
第4章 微分中值定理與導數的套用 161
4.1 微分中值定理 161
4.1.1 費馬引理和駐點 161
4.1.2 羅爾中值定理 163
4.1.3 拉格朗日中值定理 166
4.1.4 柯西中值定理 170
4.1.5 微分中值定理的例題 174
4.2 洛必達法則 174
4.2.1 未定式 176
4.2.2 洛必達法則的較弱形式和加強形式 177
4.2.3 洛必達法則的更多形式 180
4.2.4 洛必達法則的局限性 182
4.3 泰勒公式 182
4.3.1 泰勒定理和皮亞諾餘項 183
4.3.2 為什麼可以通過多項式來逼近函式f(x)187
4.3.3 泰勒公式的係數和餘項 189
4.3.4 麥克勞林公式 191
4.3.5 皮亞諾餘項和拉格朗日餘項 192
4.3.6 泰勒公式的例題 193
4.4 函式的單調性與凹凸性 194
4.4.1 導數與函式的單調性 194
4.4.2 函式的凹凸性 197
4.4.3 拐點 200
4.5 函式的極值與最值 203
4.5.1 極值的充分條件 203
4.5.2 閉區間上函式的最值 207
4.6 曲率 208
4.6.1 圓的曲率 209
4.6.2 曲線的曲率 209
第5章 不定積分 217
5.1 不定積分的概念與性質 217
5.1.1 原函式 217
5.1.2 達布定理 218
5.1.3 不定積分的定義 219
5.1.4 基本積分表 220
5.1.5 不定積分的性質 221
5.2 不定積分的換元法 222
5.2.1 不定積分的第一類換元法 223
5.2.2 不定積分的第二類換元法 225
5.3 分部積分法和有理函式的積分 227
5.3.1 分部積分法 227
5.3.2 有理函式的積分 229
第6章 定積分 232
6.1 定積分與曲邊梯形 232
6.1.1 定積分的定義 232
6.1.2 曲邊梯形及其面積 237
6.2 定積分的可積條件和性質 239
6.2.1 可積的充分條件 239
6.2.2 定積分的補充規定 241
6.2.3 定積分的齊次性與可加性 242
6.2.4 定積分的性質 243
6.3 微積分基本定理 247
6.3.1 積分上限函式 247
6.3.2 微積分第一基本定理 249
6.3.3 微積分第二基本定理 250
6.4 定積分的換元法和分部積分法 253
6.4.1 定積分的換元法 253
6.4.2 定積分的分部積分法 256
6.5 反常積分 256
6.5.1 無窮限的反常積分 256
6.5.2 無界函式的反常積分 261
第7章 定積分的套用 265
7.1 定積分與曲線長度 265
7.1.1 光滑曲線及其長度 265
7.1.2 圓的曲率 269
7.1.3 曲線的曲率 270
7.2 定積分與面積 271
7.2.1 曲線之間的面積 271
7.2.2 極坐標系下的面積 277
7.3 表面積與體積 279
7.3.1 圓錐面的表面積 279
7.3.2 圓台面的表面積 280
7.3.3 旋轉面的表面積 281
7.3.4 旋轉體的體積 285
7.3.5 截面積已知的立體圖形的體積 287
7.4 定積分在物理中的套用 288
7.4.1 變力沿直線做功 288
7.4.2 水壓力 290
7.4.3 力矩與質心 291
7.4.4 萬有引力 293
第8章 微分方程 296
8.1 微分方程的基本概念 296
8.1.1 微分方程的定義 296
8.1.2 解、通解、特解和初值條件 300
8.2 可分離變數的微分方程 300
8.2.1 可分離變數的微分方程的定義 301
8.2.2 可分離變數的微分方程的求解方法 301
8.3 齊次方程 303
8.4 一階線性微分方程 304
8.4.1 一階線性微分方程的求解方法 304
8.4.2 伯努利微分方程 306
8.5 可降階的高階微分方程 308
8.5.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 308
8.5.2 y= f(x, y) 型的微分方程 309
8.5.3 y= f(y, y) 型的微分方程 309
8.6 高階線性微分方程 309
8.6.1 高階線性微分方程的定義 310
8.6.2 線性方程組解的結構 310
8.6.3 線性微分方程解的結構 311
8.6.4 常數變易法 313
8.7 常係數線性微分方程 315
8.7.1 二階常係數齊次線性微分方程的解 316
8.7.2 f(x) = eλxPm(x) 時的常係數非齊次線性微分方程318
