微積分基礎(北京大學提供的慕課)

課程性質

課程定位

微積分基礎課程是目前各個大學對幾乎所有專業一年級本科生開設的高等數學課程的第一部分和主體部分，包括函式的極限和連續理論、單變數函式微分積分理論和一元廣義積分理論。

適應專業

微積分基礎課程適合所有需要學習高等數學課程的專業學習。

開課信息

開課次數	開課時間	學時安排	參與人數
第1次開課	2018年03月12日-2018年06月10日	2-4學時/周	25731人
第2次開課	2018年09月20日-2019年01月09日	2-4小時/周	25738人
第3次開課	2019年03月11日-2019年06月16日	3學時/周	7956人
第4次開課	2019年07月18日-2019年09月15日	2-4學時/周	13510人
第5次開課	2019年10月18日-2020年01月17日	3-4學時/周	12455人
第6次開課	2020年02月17日-2020年06月30日	2-3學時/周	7892人
第7次開課	2020年09月10日-2021年03月01日	2-4學時/周	6285人
第8次開課	2021年03月11日-2021年06月30日	3-4學時/周	待定
（註：表格內容參考資料）

課程簡介

微積分基礎課程介紹了函式的概念、數列的極限、函式的極限、無窮小量和函式連續性、導數的概念及其運算、複合函式求導法則、隱函式的導數與函式的高階導數、微分及其套用、微分中值定理、微分中值定理的例題、函式性態討論、未定式的極限、Taylor公式及其套用、不定積分基本概念和湊微積分法、換元積分法和分部積分法、有理函式積分、定積分的概念和公式、定積分的計算、定積分的套用、無窮積分和瑕積分以及廣義積分的絕對收斂和條件收斂等內容。

課程大綱

S01 函式的概念

s01_1_基本概念與符號

s01_2_三種特殊形式的函式

s01_3_函式的一般性質

s01_4_反函式的概念

s01_5_反三角函式舉例

s01_6_複合函式的概念

s01_7_基本函式的圖形

S01 函式的概念單元測驗

S02 數列的極限(I)

s02_2_用定義討論數列極限

s02_3_數列極限的性質I

s02_4_數列極限的性質II

s02_5_數列極限的四則運算法則

s02_6_數列極限的四則運算例題

S02 數列的極限(I) 單元測驗

s02_1_數列極限的定義

S03 數列的極限(II)

s03_1_單調收斂原理

s03_2_單調收斂原理的例題

s03_3_一個特殊數列的極限

s03_4_夾逼原理及例題

s03_5_二項式公式用於放縮

S03 數列的極限(II)單元測驗

S04 數列的極限(III)

s04_1_Cauchy收斂準則

s04_2_數列的子列

s04_3_壓縮映射原理用於數列極限

s04_4_壓縮映射用於數列的例題

S04 數列的極限(III)單元測驗

S05 函式的極限

s05_1_定義函式在無窮遠處的極限

s05_2_定義函式在有限點處的極限

s05_3_數列極限性質在函式極限中的對應(I)

s05_4_數列極限性質在函式極限中的對應(II)

s05_5_無窮大量、無窮小量及其運算

s05_6_函式極限的四則運算

s05_7_複合函式的極限

s05_8_函式極限例題

s05_9_兩個特殊極限(I)

s05_10_兩個特殊極限(II)

S05 函式的極限單元測驗

S06 無窮小量和函式連續性

s06_1_無窮小量的比較及套用

s06_2_函式的漸近線

s06_3_函式的連續性(I)

s06_4_函式的連續性(II)

s06_5_閉區間上連續函式性質(I)

s06_6_閉區間上連續函式性質(II)

S06 無窮小量和函式連續性單元測驗

S07 導數的概念及其運算

s07_1_導數(微商)的概念

s07_2_導數概念的進一步討論

s07_3_基本初等函式之導數

s07_4_反函式的導數

s07_5_導數的四則運算法則

S07 導數的概念及其運算單元測驗

S08 複合函式求導法則

s08_1_複合函式求導法則(I)

s08_2_複合函式求導法則(II)

S08 複合函式求導法則單元測驗

S09 隱函式的導數與函式的高階導數

s09_1_隱函式的導數(I)

s09_2_隱函式的導數(II)

s09_3_函式的高階導數

S09 隱函式的導數與函式的高階導數單元測驗

S10 微分及其套用

s10_1_微分的概念

s10_2_微分的計算

s10_3_微分用於隱函式求導

s10_4_微分用於參數式函式求導

s10_5_微分用於誤差計算

S10 微分及其套用單元測驗

S11 微分中值定理

s11_1_函式的極值和最值的概念

s11_2_微分中值定理(I)

s11_3_微分中值定理(II)

S11 微分中值定理單元測驗

S12 微分中值定理的例題

s12_1_微分中值定理的例題(I)

s12_2_微分中值定理的例題(II)

S12 微分中值定理的例題單元測驗

S13 函式性態討論

s13_1_函式單調性的討論(I)

s13_2_函式單調性的討論(II)

s13_3_函式極值的討論

s13_4_函式最值的討論(I)

s13_5_函式最值的討論(II)

s13_6_曲線的凸性(I)

s13_7_曲線的凸性(II)

s13_8_曲線的拐點

S13 函式性態討論單元測驗

S14 未定式的極限

s14_1_未定式的極限(I)

s14_2_未定式的極限(II)

s14_3_諾必達法則用於數列和其它未定式

S14 未定式的極限單元測驗

S15 Taylor公式

s15_1_Taylor公式

s15_2_基本函式的Taylor公式

s15_3_一般函式的Taylor公式

S15 Taylor公式單元測驗

S16 Taylor公式的套用

s16_1_Taylor公式用於計算極限

s16_2_Taylor公式用於極值判別

s16_3_Lagrange餘項型Taylor公式

S16 Taylor公式的套用單元測驗

S17 不定積分基本概念和湊微積分法

s17_1_不定積分的概念

s17_2_不定積分的基本公式

s17_3_湊微積分法及例題

s17_4_湊微積分法的例題

S17 不定積分基本概念和湊微積分法單元測驗

S18 換元積分法和分部積分法

s18_1_換元積分法

s18_2_換元積分法的例題

s18_3_分部積分法

s18_4_分部積分的例題

S18 換元積分法和分部積分法單元測驗

S19 有理函式積分

s19_1_可積函式類總結

s19_2_有理函式的積分

s19_3_有理函式的分解

S19 有理函式積分單元測驗

S20 定積分的概念和公式

s20_1_定積分的概念(I)

s20_2_定積分的概念(II)

s20_3_定積分的基本性質

s20_4_微積分基本定理(I)

s20_5_微積分基本定理(II)

s20_6_變上限積分函式的導數

s20_7_變上限積分與極限

S20 定積分的概念和公式單元測驗

S21 定積分的計算

s21_1_定積分的積分法

s21_2_定積分的相關例題(I)

s21_3_定積分的相關例題(II)

s21_4_極坐標系的概念

s21_5_極坐標系中的曲線舉例(I)

s21_6_極坐標系中的曲線舉例(II)

S21 定積分的計算單元測驗

S22 定積分的套用

s22_1_平面圖形面積(1)

s22_2_平面圖形面積(2)

s22_3_平面曲線弧長

s22_4_極坐標中曲線弧長

s22_5_旋轉體體積

s22_6_旋轉體的側面積

s22_7_力學相關例題

S22 定積分的套用單元測驗

S23 無窮積分和瑕積分

s23_1_無窮積分的定義

s23_2_無窮積分的基本例題

s23_3_無窮積分的比較判別法

s23_4_無窮積分的例題

s23_5_瑕積分的概念

s23_6_瑕積分的例題

s23_無窮積分和瑕積分單元測驗

S24 廣義積分的絕對收斂和條件收斂

s24_1_絕對收斂和條件收斂(I)

s24_2_絕對收斂和條件收斂(II)

s24_3_Gamma函式

S24 廣義積分的絕對收斂和條件收斂單元測驗

（註：課程大綱從左至右列出，表格內容參考資料）

課前預備

學習資料

書名	作者	ISBN	出版時間	出版社
《高等數學（第二版）上冊》	李忠、周建瑩	9787301155974	2018年	北京大學出版社
《高等數學（生化醫農類）（修訂版）（上冊）》	周建瑩、張錦炎	9787301053799	2015年
《高等數學解題指南》	周建瑩、李正元	9787301058534	2019年
《高等數學精選習題解析》	林源渠	9787301192627	2011年
（註：表格內容參考資料）

課程考核

（1）章節單元測驗占50%；

（2）期末考試占50%；

微積分基礎課程成績按百分制計分，60分~89分為合格，90分~100分為優秀。

所獲榮譽

2019年，微積分基礎課程被認定為國家精品線上開放課程；

2020年，微積分基礎課程被教育部認定為首批“國家級一流本科課程”（線上一流課程）。

教師簡介

王冠香，博士後，北京大學數學科學學院教授。