《微分動力系統的測度和熵》是依託中央財經大學，由孫鵬擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：微分動力系統的測度和熵
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：孫鵬
- 依託單位：中央財經大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
熵和測度分別是動力系統和遍歷理論的核心內容。 系統的熵和系統中各種的遍歷測度的存在性都是系統最重要的性質。本項目將研究對於特定的微分動力系統（主要是滿足一定條件的部分雙曲系統），由系統的所有遍歷測度的測度熵構成的集合的結構和性質。Herman猜測當可微系統的拓撲熵大於零的時候（通常這樣的系統被認為是混沌的， 非常複雜），系統一定不是唯一遍歷的。而根據Katok的猜想，該集合應包含從零到系統的拓撲熵的整個區間。該問題由Katok在上世紀八十年代初證明非一致雙曲情形之後提出，直到近期才由申請人取得一些新的進展。申請人將在已有工作的基礎上， 繼續探索新的思路和方法，為最終解決一般情況下Katok的猜想創造可能。該問題與動力系統領域多個分支甚至數論、分形幾何等都有廣泛的聯繫。本項目的研究可以豐富和促進國內動力系統領域的全面發展。
結題摘要
本項目研究了微分動力系統的熵和測度之間的一些性質。我們證明了對於高維環面上的任意線性映射，遍歷測度的測度熵在由零到拓撲熵構成的區間中稠密。該結果的意義主要在於套用了一種通過不穩定流形來構造不變集的方法，是這一方法在相關問題上的第一次嘗試，引起了國內外同行的關注。同時，我們在熵的計算和估計方面也做出了創新的工作。我們研究了開覆蓋的Lebesgue數的指數衰減並證明其與Hausdorff維數的乘積對拓撲熵的上界給出了一個新的估計。之後我們又研究了可擴系統的可擴常數的指數衰減，也利用其與盒維數的乘積得到了類似的結果。此外，我們還做了一個關於加倍測度的工作，給出了一類Cantor集上加倍測度存在的條件。
