測地流的動力學研究

《測地流的動力學研究》是依託山東科技大學，由劉飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：測地流的動力學研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉飛
• 依託單位：山東科技大學

項目摘要

測地流是動力系統和黎曼幾何理論中的一個重要研究課題。本項目將重點研究緊緻、無邊界的黎曼流形上的測地流的動力學性質，涉及到動力系統、遍歷論和黎曼幾何等多個領域。具體為：（1）測地流的Liouville可積性及可積性的幾何和拓撲障礙；（2）Liouville可積測地流的拓撲熵和分數單值矩陣；（3）測地流的Liouville測度熵的正性和熵可擴性。我們提出了一系列彼此相關的研究問題，其中有些觀點尚未見諸文獻。這些問題的解決或者部分解決，將會使研究者們對測地流的動力學有更全面的認識，也能對多個相關學科的發展起到一定的推動作用。

結題摘要

測地流系統是非常重要的一類微分動力系統，它的動力學理論在當代微分動力系統的理論體系中占有舉足輕重的地位。對測地流及其動力學的研究是隨著黎曼幾何的產生而出現，又隨著現代微分幾何和動力系統理論的快速發展而迅速興盛繁榮起來的。現今，測地流的動力學理論已成為融合了現代微分幾何理論、微分動力系統及哈密頓動力學理論、遍歷論、辛幾何與辛拓撲等多個領域的，非常前沿的交叉學科。 本項目旨在研究測地流的動力學性質。在本研究項目的實施過程中，我們在測地流（乃至包含範圍更為廣泛的哈密頓系統和拉格朗日系統）的動力學的諸多方面取得了一系列的研究成果。具體來說，我們證明了下述結論：無焦點流形和有界漸近流形的測地流是熵可擴的；無共軛點的高虧格曲面的測地流是熵可擴的；負曲率連通分支有限的無焦點高虧格曲面的測地流關於Liouville測度是遍歷的；若曲面的基本群指數增長，則其上的 Tonelli 拉格朗日系統限制在任一大於臨界值的等勢面上的拓撲熵大於零；無焦點曲面滿足對偶性條件等；完成了專著《測地流的動力學》的初稿。 為了得出這些結論，我們融合了微分動力系統、哈密頓系統、Mather 理論、遍歷論、黎曼幾何、Finsler 幾何等多個學科的方法與技巧，發展出了若干有待進一步深入研究的技巧和想法，提出了一些重要的研究問題，大大加深了我們對測地流的動力學的理解，為進一步的研究提供了新的想法和技術支持。