差分格式

差分格式是數值計算方法中微分以及偏微分導數的一種離散化方法，即用相鄰兩個或者多個數值點的差分取代偏微分方程中導數或者偏導數的一種算法。 選擇差分格式是離散化偏微分方程的第一步。

基本介紹

• 中文名：差分格式
• 外文名：difference scheme
• 套用：數值計算
• 類型：方式方法
• 相關：離散化

差分格式簡介

對二階常微分方程邊值問題：

(1)

。 (2)

式中，q，f 為 [a,b] 上的連續函式， 為給定常數。這是最簡單的橢圓型方程邊值問題。

將區間 [a,b] 分成 N 等分，分點為 ，其中 稱為步長， 稱為格線的節點。於是，得到區間 [a,b] 上的一個格線剖分。

現在將方程 (1) 在節點 離散化。為此，對充分光滑的解 u，由泰勒展式得

(3)

其中 表示方括弧內的函式 在 點取值。於是在 可將方程 (1) 寫成

(4)

其中 (5)

顯然，當 h 足夠小的時候， 是 h 的二階無窮小量，若捨去 則得到逼近方程(1)的差分方程：

(6)

式中 ，稱 為差分方程(6)的截斷誤差。利用差分運算元 ，可將(4)寫成形式

(7)

而在節點 處，微分方程(1)為 ，以此與(7)相減，得

(8)

所以 是用差分運算元 代替微分運算元 L 所引起的截斷誤差，它關於 h 的階為 。

差分方程(6)當 時成立，加上邊值條件 ，就得到關於 的線性代數方程組：

(9)

(10)

它的解 是 於 的近似。

稱(9)、(10)為逼近 (1)、(2) 的差分方程或差分格式。

構造方法

構造差分格式的方法有多種，如直接差分化、積分插值法、變分-插分法及待定係數法等。