差分微分及函式方程解的研究

《差分微分及函式方程解的研究》是依託山東大學，由楊連忠擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：差分微分及函式方程解的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊連忠
• 依託單位：山東大學

中文摘要

項目主要研究複分析中涉及亞純函式理論的若干問題: 第一、研究Brück猜想及其相關的線性和非線性微分方程整體解；第二、研究亞純函式唯一性理論中著名的1CM+3IM是否等於4CM的問題；第三、研究費爾馬型函式方程及其相關函式方程的亞純函式解的存在性問題；第四、研究差分方程的亞純解及其差分多項式解的值分布性質。這些問題一直受到國內外學者的關注和重視，是函式值分布和唯一性理論研究的重要內容和發展動力，但當前僅憑亞純函式的Nevanlinna理論很難研究解決它們。本項目致力於將具有共同理論基礎的復微分、差分方程以及正規族等數學分支與上述問題結合起來研究，把函式公共值問題轉化成復微分方程解的增長及漸近性質、對數導數以及零點和極點的分布來研究，開拓新的研究方法。這對複分析的發展、探索和促進不同數學分支間的交叉都很有意義。

結題摘要

本項目主要研究了複分析中涉及亞純函式理論的的下列問題: 第一、研究Brück猜想及其相關的線性和非線性微分方程整體解，我獲得了一個較為廣泛的成果；第二、研究費爾馬型函式方程亞純函式解的存在性問題以及其他相關的函式方程，重點研究了兩項費爾馬型函式方程的差分形式，給出了這類方程亞純解的結構形式，並證明其結果是精確的，也是唯一的；這也是我們首次研究涉及差分的費爾馬型函式方程，推廣了研究的範圍，並且在結果上有了較大突破；在函式方程的亞純解的存在性理論研究中，我們引入了一個很實用的運算元，我們利用該運算元解決了一類函式方程的亞純解的存在性問題。第三、研究了復解析動力系統，這類研究一直是我國數學家所關心的重要研究方向，我們也是初步涉及這方面的研究，而且與我們所熟悉的復分方程理論相結合，重點研究一類複線性微分方程的整函式解的導數的Julia 集的徑向分布，在適當條件下，我們證明這類復微分方程的整函式解及其導數的Julia 集具有相似的徑向分布, 並找到了它們的下界。第四、我們對微分、差分方程理論的做了重點研究，建立了全純曲線涉及低增長移動目標的卡當第二基本定理等，這對微分、差分方程理論的值分布研究奠定了基礎。我們還研究了一類微分方程的次正規解，證明了此類微分方程次正規解的存在性，並估計了次正規解的增長級的大小，推廣了Wittich, Gundersen 及 Steinbart的研究工作。此外我們研究了差分方程解的值分布性質，如差分多項式解的零點收斂指數、增長級及唯一性等；對亞純函式與其q-差分運算元具有分擔集時的值分布性質，部分回答了Gross 提出的涉及q-差分的一個問題。以上列舉了我們的主要成果和內容，所有研究都是該研究方向的學術前沿問題，其成果的建立對今後複分析的發展、探索有重要的科學意義。