微分、差分方程的Galois理論及求liouvillian解的算法研究

《微分、差分方程的Galois理論及求liouvillian解的算法研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由馮如勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：微分、差分方程的Galois理論及求liouvillian解的算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：馮如勇
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

求微分以及差分方程棄鞏協的liouvillian解是符號計算領域的主要研究內容之一。與代數方程的根式求解類似，微分以及差分方程是否存在liouvillian解與它們的Galois理戒姜嫌滲論有密切的關係；而微分以及差分多項式的分解則是提高求解效率的重要手段之一。本項目利用微分以及差分方程的代數理論，研究微分、差分方程以及微分-差分混合方程的liouvillian解和非線性微分以及差分多項式的分解問題。在理論上，我們計畫將有限維的線性微分、差分方程的Galois理論推廣到更一般的詢海抹微分-差分混合方程（解空間可能為無限維），同時還將研究非線性微分以及差分多項式的極大分解問題。在算法上，提高已有的求liouvillian解的算法以及將高階方程分解成低階方程的分解算法的效率；對於新的方程設計新的求解算法。在套用上，將所得研究結果套用奔白良於組合數學以及控制理論。

結題摘要

本項目主要研究線性微分差分方程的符號求解算法以及它們的分解夜敬和章算法。在符號求解算法方面，超指數-超幾何函式解是求 liouvillian 函式解的基礎，而超指數-超幾何函式的結構則是設計求解算法的關鍵。 在項目的支持下，我們完全解決了超指數翻坑-超幾何函式的結構問題並將其套用於組合中重要只束頁算法—Zeilberger 算法的終止性判定問題。 線性微分方程的分解是降低求解線性微分方程的計算複雜度的重要方法之一， 同時也是很多線性微分方程符號求解算法的基礎。 在項目的支持下，項目組成員解決了係數為微分多項式的線性微分運算元的分解問題， 該算法是通常線性微分運算元分解算法的一種推廣。在其他方面，項目組成員還在區間多項式實區間零點個數、多變元多項式的分解以及 Wronskian 行列式在微分差分域中的推廣方面進行了研究並得到相應結果。在本項目的資助下，項目組成員總計發表論文 6 篇，其中 EI 收錄 2 篇； SCI 收錄 2 篇， 國核心心期刊 2 篇。