完全格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。在數學中，完全格是在其中所有子集都有上確界(並)和下確界(交)的偏序集。完全格出現於數學和計算機科學的很多套用中。作為格的特殊實例，在次序論和泛代數中都有所研究。

基本介紹

• 中文名：完全格
• 外文名：complete lattice
• 領域：代數
• 性質：格的特殊實例
• 本質：偏序集
• 套用領域：次序論、泛代數

概念

在數學中，完全格是在其中所有子集都有上確界(並)和下確界(交)的偏序集。完全格出現於數學和計算機科學的很多套用中。作為格的特殊實例，在次序論和泛代數中都有所研究。

完全格一定不能混淆於完全偏序(cpo)，它構成嚴格的更加一般的一個偏序集合類別。更特殊的完全格是完全布爾代數和完全Heyting代數(locale)。

格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

格h格 設(L，£)是一個偏序集，如果對於"a,bÎL，L的子集{a,b}在L中都有一個最大下界(記為inf{a,b})和一個最小上界(記為sup{a,b}),則稱(L，£)是一個偏序格.

子集在L中有上確界和下確界的偏序集，就是格。

h代數格 在L定義二元運算*和·，滿足：對"a,b,cÎL,有

(1) 交換律 a*b=b*a，a·b=b·a

(2)結合律(a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)

(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a

則稱(L，*，·)是代數格.

用代數的語言，格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。

h對偶式 由1，0，和可以代表格中的任意元素的變數通過+，×運算連結起來的式子，就是格中的表達式，記作f。將f中的0換成1，1換成0，+換成×，×換成+所得的表達式，就是表達式f的對偶式記作f。h

h對偶原理 若f為真，則f為真。

偏序集

偏序集是特定的集。它是一類主要的序關係集。具體地說，集合E連同其上的偏序R構成的關係集(E，R)，一般記為P=(E，≤).所謂偏序(或序關係)是一類具有自反性、反對稱性和傳遞性的二元關係。例如，數之間的不大於關係，自然數之間的整除關係，集合之間的包容關係等。把集合E的基數稱為偏序集P的階。階為有限值的偏序集稱為有限偏序集。而在P上，對於任意元素x，y，區間[x，y]均為有限偏序集時，稱P為局部有限偏序集。這兩類偏序集是組合理論中的主要研究對象.偏序集上所有鏈的長度的最小上界，或上確界，稱為偏序集的長度，記為l(P).偏序集中最大反鏈包含的元素數目，稱為偏序集的寬度，記w(p).對於以右圖為哈塞圖的偏序集P，有l(P)=3，w(P)=2。偏序集的子關係集仍為偏序集，而且必有全序集作為其子關係集。

設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：

①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；

②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；

③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。

則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。

如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。

在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤)。

由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。

例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。

再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。

套用領域——泛代數

泛代數是代數學的一個分支學科。泛代數是在群、環、域、格等代數系統研究的基礎上進一步抽象得以發展起來的一般代數系統。一個泛代數U是一個二元組〈A，F〉，其中A是一個非空集合，稱A為U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定義於A上的運算集合(F可能是有限集，也可能是無限集)。對於泛代數可以仿照群、環、域中的方式定義子代數、同態、同構概念等。

早在1898年，懷特海(Whitehead，A.N.)就意識到要研究泛代數。但直到20世紀30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的論文發表以前，泛代數的研究沒有什麼發展。這和當時近世代數的大部分分支沒有得到充分的發展有關。從1935年到1950年，泛代數的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向進行的，即，研究自由代數、同態定理、同構定理、契約關係格、子代數格等。

由於數理邏輯的發展，為泛代數的研究提供了一個新的工具，特別是哥德爾完全性定理、塔爾斯基可滿足性概念、緊緻性定理等，使人們意識到邏輯在代數中套用的可能性。馬爾茨夫(Malcev)於1941年發表了這方面的第一篇論文，由於戰爭，他的論文沒有引起人們的注意.後來，塔爾斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和魯賓孫(Robinson，A.)開始這方面的研究工作。

利用模型論(數理邏輯的一個分支)研究泛代數的主要代表人物有塔爾斯基、亨金、查爾各(Charg，C.C.)、嬌生(Jonsson，B.)、凱斯勒爾(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨爾洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人.當然，泛代數的結果也可套用於模型論的研究。

泛代數除了在數學本身的研究中有廣泛套用外，對計算機語言和語義理論的研究也有越來越大的作用。