多項式近似

多項式函式是各類函式中最簡單的一種,用多項式逼近函式是近似計算和理論分析的一個重要內容。

基本介紹

  • 中文名:多項式近似
  • 外文名:Polynomial approximation
  • 所屬學科:數理科學
  • 解釋:用多項式去逼近函式
  • :數學概念的一種套用
  • 用於:近似計算
  • 套用領域自動控制
泰勒公式,泰勒定理,麥克勞林公式,近似計算,

泰勒公式

在學習導數微分概念時已知,如果函式f在
處可導,則有
即在點
附近,用一次多項式
逼近函式
,其誤差為
的高階無窮小量。然而,在很多場合下,取一次多項式逼近是不夠的,往往需要二次或高於二次的多項式去逼近,並要求誤差為
,其中,n為多項式的次數。
為此,我們考察任一n次多項式
逐次求它在點
處的導數,得到:
對於一般函式f ,設它在點
存在直到n階的導數,由這些導數構造一個n次多項式
稱為函式f在點
處的泰勒多項式

泰勒定理

若函式f 在[a,b]上存在直至n階的連續導數,在(a,b)記憶體在n+1階導函式,則對於任意給定的
,至少存在一點
,使得

麥克勞林公式

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

近似計算

(示例)
計算 e 的值,使其誤差不超過
分析:
其中,
故由
當n=9 時,便有
從而略去
而求得e 得近似值為

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