多項式近似

多項式函式是各類函式中最簡單的一種，用多項式逼近函式是近似計算和理論分析的一個重要內容。

基本介紹

• 中文名：多項式近似
• 外文名：Polynomial approximation
• 所屬學科：數理科學
• 解釋：用多項式去逼近函式
• 是：數學概念的一種套用
• 用於：近似計算
• 套用領域：自動控制

泰勒公式

在學習導數和微分概念時已知，如果函式f在 處可導，則有

即在點 附近，用一次多項式 逼近函式 ，其誤差為 的高階無窮小量。然而，在很多場合下，取一次多項式逼近是不夠的，往往需要二次或高於二次的多項式去逼近，並要求誤差為 ，其中，n為多項式的次數。

為此，我們考察任一n次多項式

逐次求它在點 處的導數，得到：

對於一般函式f ，設它在點 存在直到n階的導數，由這些導數構造一個n次多項式

稱為函式f在點 處的泰勒多項式

泰勒定理

若函式f 在[a,b]上存在直至n階的連續導數，在(a,b)記憶體在n+1階導函式，則對於任意給定的 ，至少存在一點 ，使得

麥克勞林公式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

近似計算

（示例）

計算 e 的值，使其誤差不超過 。

分析：

其中，

故由

當n=9 時，便有

從而略去 而求得e 得近似值為