最小平方逼近多項式

最小平方逼近多項式(polynomials of least square approximation)是一種逼近多項式，指最佳均方逼近中，取逼近函式類為多項式集合H_n時的多項式。

基本介紹

• 中文名：最小平方逼近多項式
• 外文名：polynomials of least square approximation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：計算數學(數值逼近)

基本介紹

當時，設逼近多項式，記

則最小平方逼近多項式，使

由多元函式極值必要條件

得關於的線性方程組：

稱為法方程，求解得到，當[a，b]為[0，1]時，法方程為

係數矩陣為希爾伯特矩陣，即

它是病態矩陣，因此，這種算法只適合於n≤3的情形，為此，求最小平方逼近多項式可利用勒讓德多項式，設，則在[-1，1]上的最小平方逼近多項式為，其中。

曲線擬合的最小二乘法

問題描述

在生產實踐和科學研究中，時常需要從一組測定的數據去求函式的近似表達式。從圖形上看，這個問題就是根據曲線上已給的(n+1)個點，求作該曲線的近似圖形。插值問題就屬於這種問題。

不過插值問題要求近似曲線嚴格地通過所給的(n+1)個點，這一要求將會使近似曲線保留數據的全部測試誤差(通過實驗所得到的數據總是帶有測試誤差)，如果個別數據的精度很差(誤差很大)，那么插值的效果顯然是不理想的。另外，一般來說，這樣的插值多項式必須是n次的，n較大時，插值多項式次數也比較高，這對於函式性質分析和實際計算都是不方便的。

為了降低多項式次數，又在給定數據的基礎上反映數據的一般趨勢，放棄必須通過所有(n+1)個點的要求，但希望這條多項式曲線儘量接近每一點，也就是：尋求一個次數低於n的m次多項式，使它在點上取值儘量接近，這就是代數曲線擬合問題。

最小二乘法表述

設所求的多項式為

令

即

由於曲線不一定通過所有點，所以諸不會全為零。

所謂最小二乘法，就是選擇，使

達到最小值。

是衡量逼近的準確程度的一種尺度。使達到最小的多項式(1)稱為在點名上的m次最小平方逼近多項式。

最小平方逼近多項式的存在性

由微分學知，若使達到最小值，則必滿足：

即

或者

也可以寫成

式(2)稱為正規方程組。

定理1式(1)的解是存在唯一的。

定理2式(1)的解使達到最小值。