多重指標

多重指標是數學中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數推廣為多個整數,它可以簡化多元微積分偏微分方程分布理論中的計算,也便於操作冪級數

定義運算,套用範圍,多元微積分,偏微分運算元,

定義運算

一個n -維多重指標是一個由整數構成的向量
為多重指標,定義:
套用最廣的是非負的多重指標,此時可以定義:
(假設
定義
其中
命題:若i,k是非負的n維多重指標,且
按定義直接操作即可證明。

套用範圍

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子:
多元冪級數:有兩個以上變元的冪級數通常寫成
其中
是n-維多元指標而
,以簡化冗長的表法
多項展開
萊布尼茨公式
存在夠高階的導數,則

  泰勒展開式: 對一多元解析函式 f,當
充分小時有下述展開
其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法。
對於存在夠高階導數的函式,我們也有帶餘項的泰勒展開式:

偏微分運算元

一個形式上的 n 變元
-階偏微分運算元能以多重指標寫成
分部積分:對有界定義域
上的緊支集光滑函式,我們有
此公式用以定義分布弱導數

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