萊布尼茨公式(求導法則中的Leibniz公式)

萊布尼茨法則，也稱為乘積法則，是數學中關於兩個函式的積的導數的一個計算法則。

基本介紹

• 中文名：萊布尼茨公式
• 外文名：Leibniz formula
• 別稱：乘法法則
• 表達式：（uv）’=u'v+v'u
• 提出者：萊布尼茨（Gottfried Leibniz）
• 套用學科：高等數學
• 適用領域範圍：導數
• 適用領域範圍：導數

基本信息

不同於牛頓-萊布尼茨公式，萊布尼茨公式用於對兩個函式的乘積求取其高階導數，

一般的，如果函式u=u(x)與函式v=v(x)在點x處都具有n階導數，那么此時有

(uv)⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾v+ nu^(n-1)v' + u^(n-2)v" + + u^(n-k)v^(k) + + uv⁽ⁿ⁾

也可記為

利用面積推導

假設

且f和g在x點可導。那么：

現在，以下的差

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

因此，(1)的表達式等於：

如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於：

現在：

因為當w→x時，f(x)不變；

因為g在x點可導；

因為f在x點可導；以及

因為g在x點連續（可導的函式一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於：

推導過程

如果存在函式u=u(x)與v=v(x)，且它們在點x處都具有n階導數，那么顯而易見的，

u(x) ± v(x) 在x處也具有n階導數，且 (u±v)⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾± v⁽ⁿ⁾

至於u(x) × v(x) 的n階導數則較為複雜，按照基本求導法則和公式，可以得到：

(uv)' = u'v + uv'

(uv)'' = u''v + 2u'v' + uv''

(uv)''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv'''

…………

運用數學歸納法可證

(uv)⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾v + nu^(n-1)v' + u^(n-2)v" + + u^(n-k)v^(k) + + uv⁽ⁿ⁾

上式便稱為萊布尼茨公式（Leibniz公式）

區別

由於名稱相似，不少人將牛頓-萊布尼茨公式與萊布尼茨公式相混淆，事實上他們是兩個完全不同的公式。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中的一個重要公式，它把不定積分與定積分相聯繫了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。其基本形式為

而萊布尼茨公式是導數計算中會使用到的一個公式，它是為了求取兩函式乘積的高階導數而產生的一個公式。

二者存在本質上的區別。

相關人物

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨

弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年—1716年），德國哲學家、數學家，和牛頓先後獨立發明了微積分。有人認為，萊布尼茨最大的貢獻不是發明微積分，而是微積分中使用的數學符號，因為牛頓使用的符號普遍認為比萊布尼茨的差。他所涉及的領域及法學、力學、光學、語言學等40多個範疇，被譽為十七世紀的亞里士多德。