嚴格凸函式

嚴格凸函式

嚴格凸函式(strictly convex function)是一個定義在某個向量空間的凸子集C上的一類實值函式。若對於凸子集C中任意兩個向量p,q, 滿足f((p+q)/2)<(f(p)+f(q))/2, 則稱f(x)是定義在凸子集C中的嚴格凸函式。

基本介紹

  • 中文名:嚴格凸函式
  • 外文名:Strictly convex function
  • 所屬學科數學 
定義,判別方法,引理,推論1,推論2,嚴格凸函式的性質,注,

定義

嚴格凸函式是定義在某個向量空間的凸子集C(區間)上的實值函式
(x) ,而且對於凸子集C中任意兩個向量p,q,
滿足
則稱
是定義在凸子集C中的嚴格凸函式。容易證明,其定義等價於若
滿足
對任意兩個向量p,q成立。特別地,若這裡凸集C即某個區間 I ,那么就是:設
為定義在區間 I 上的函式,若對 I 上的任意兩點
,有
成立,則稱
是定義在區間I 中的嚴格凸函式。
在上面的定義中,若將小於號改變小於等於,則上面的函式稱之為凸函式。

判別方法

引理

為 I上的凸函式的充要條件是:對於I的任意三點
,總有
證明:
必要性:
,則有
,由凸性的定義代入,從而有
整理後即可得到。
充分性:
在I上任取兩點
,在
上任取一點
,由必要性的推導逆過程,可證得
故為I上的凸函式。
證畢。

推論1

為 I上的函式,下列條件等價:
1)
為 I上的凸函式的。
2)
為I上的增函式。
3) 對I上的任意兩點
,有

推論2

對於實數集上的凸函式,如果其二階導數在區間上非負,就稱為凸函式。如果其二階導數在區間上恆大於0,就稱為嚴格凸函式。

嚴格凸函式的性質

1)一元可微函式在某個區間上是嚴格凸的,若且唯若它的導數在該區間上嚴格單調增。
2)一元連續可微函式在區間上是嚴格凸的,若且唯若函式位於所有它的切線的上方:對於區間內的所有x和y,都有
。特別地,如果
,那么c是
的最小值。
3)一元二階可微的函式在區間上是嚴格凸的,若且唯若它的二階導數是正的;這可以用來判斷某個函式是不是嚴格凸函式,但反過來不成立。更一般地,多元二次可微的連續函式在凸集上是嚴格凸的,若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是嚴格正定的。
4)嚴格凸函式的任何極小值也是最小值。嚴格凸函式最多有一個最小值。
5)對於嚴格凸函式
,水平子集
是嚴格凸集。
6)延森不等式對嚴格凸函式 f 都成立。
7)如果
是嚴格凸函式,那么
也是嚴格凸函式。
8) 如果
是嚴格凸函式,且
遞增,那么
是嚴格凸函式。
9) 凸性在仿射映射下不變:也就是說,如果
是凸函式,那么
也是凸函式。
等等性質。

某些教材的凸函式定義與此定義相反,即凸函式與凹函式相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。

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