弱有效解

弱有效解

弱有效解(weakly efficient solution)亦稱帕雷托弱有效解,是多目標規劃的基本概念之一。

基本介紹

  • 中文名:弱有效解
  • 外文名:weakly efficient solution
  • 別名:帕雷托弱有效解
  • 所屬學科:數學
  • 所屬領域:運籌學(多目標規劃)
  • 相關概念:多目標極小化模型、有效解等
定義,相關性質定理,定理1,定理2,定理3,定理4,判別準則與存在性,定理1,定理2,定理3,定理4,定理5,定理6,

定義

設R是模型(VMP)的約束集,F(X)是(VMP)的向量目標函式,若對
不存在
,使得
則稱
是多目標極小化模型(VMP)的弱有效解
上述定義表明,在向量不等式“<”的意義下,在問題(VMP)的約束集中已找不到比弱有效解更好的解。模型(VMP)的全部弱有效解所組成集合叫做模型( VMP) 的弱有效解集,記作
或簡記為

相關性質定理

下面定理1反映了向量目標函式經過一個單調變換之後,對應的多目標極小化模型的有效解(或弱有效解)和原模型的有效解(或弱有效解)之間的關係。

定理1

設R是模型(VMP)的約束集,
是向量目標函式,若
其中
且每一個
關於對應的
都是嚴格單增函式,i=1,…,m,則
(1)
(2)

定理2

模型(VMP)的有效解一定是弱有效解。
由有效解和弱有效解的定義直接可證。

定理3

對模型(VMP),若絕對最優解集
,則有效解集與絕對最優解集相同,即E(F,R)=E*(F,R)。

定理4

設約束集R是凸集,每個
是R上的嚴格凸函式,i=1,…,m,則模型(VMP)的有效解集和弱有效解集相同,即E(F,R)=EW(F,R)。

判別準則與存在性

下面介紹判別有效解和弱有效解的基本準則,並利用它們來討論有效解和弱有效解的存在性問題。為此,引進一個與模型(VMP)有關的如下輔助問題:
中,各
是模型(VMP)的第i 個分目標函式,R是約束集,點
是和式
在所給約束條件下的下確界,特別地,當其中的各個
在閉集R上連續,則
是有限的,這時“inf" 即為“min"。

定理1

設模型(VMP)的約束集為R,若
的充分必要條件是

定理2

設模型(VMP)的約束集為R,
為有限的,若
的最優解,則

定理3

設模型(VMP)的約束集為R,則
(1) 當
時,若
的最優解,則
是模型(VMP)的有效解。
(2) 當
時,且至少有一個為嚴格不等式,若
的最優解,則
是模型(VMP)的弱有效解。

定理4

設模型(VMP)的約束集為R,則
(1) 當
關於
是嚴格增函式時,若
的最優解,則
是模型(VMP)的有效解。
(2) 當
關於
是增函式時,若
的最優解,則
是模型(VMP)的弱有效解。
下面給出有效解的兩個存在性條件。

定理5

設模型(VMP)的約束集為R,
有限,若下列極小化問題
的最優解存在,則模型(VMP)的有效解存在。

定理6

設模型(VMP)的約束集為R,每個分目標函式
在R上都連續,若存在點使集合
是有界閉集時,則模型(VMP)的有效解存在。

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