象集

設F(R) 表示R中所有X應的P維向量F(X)的全體，即F(R)={F(X)|X∈R)，如果把F(X)看作是從約束集合R到E_p的映射，則F(R)稱為象集或目標空間，R稱為原象集或策略空間。

基本介紹

• 中文名：象集
• 外文名：image set
• 別稱：目標空間
• 所屬學科：數學
• 相關概念：目標規劃、原象集、有效點等

定義

考慮多目標規劃問題：

其中： 。任意給定一個 ，相應的目標函式值 是一個p維向量，即 。

定義1 設 表示R中所有X應的P維向量F(X)的全體，即F(R)={F(X)|X∈R)，如果把F(X)看作是從約束集合R到E_p的映射，則F(R)稱為象集或目標空間，R稱為原象集或策略空間。

對任一 ，必有 ，反之對任一 ，必存在，使 ，即象集F(R)中的每一個象點，至少有一個R中的原象與之對應。但這種對應不一定是“一對一”的。

有效點與弱有效點

類似於約束集R中的有效解和弱有效解，下面定義象集F(R)中的有效點和弱有效點。

定義2 設 ，若不存在 ，使 成立，則 稱為象集 的有效點，有效點的全體記作 。

定義3 設 ，若不存在 ，使得 成立，則稱 為象集 的弱有效點，弱有效點的全體記作 。

研究象集的作用在於：

(1)求出了 的有效點和弱有效點，就可以確定 的有效解和弱有效解。

(2)對象集的研究可以提供一些解多目標規劃的方法。

(3)可以從幾何上(p=2)對一些常用的解法加以解釋。

相關定理

有效解和有效點，弱有效解和弱有效點之間有如下的關係：

定理1

若已知象集的有效點集，則的有效解集為：。

證明： 設，則存在，使得，要證，用反證法。設，則存在，使，令，知且，這與矛盾，故有。定理證畢。

類似地可以證明下面定理。

定理2

若已知象集的弱有效點集，則的弱有效解集為：

這兩個定理說明，的有效點和弱有效點的原象分別為的有效解和弱有效解。