除運算

定義

給定關係R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X、Y、Z是屬性組，做除運算的前提是兩個關係具有相同的屬性或屬性組。可以看出關係R和關係S的相同屬性組是Y。R中的Y與S中的可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集（相同的數據類型）。

以下根據像集來定義：關係R除以關係S是一個新關係P（X），P是R中滿足下列條件的元組：在X上分量值x的像集Yx包含S在Y上投影的集合。其中Yx為值x在R中的像集，有x=tr[x]。

R與S的除運算為：R÷S={t_r[X]|t_r∈RΛΠ_Y(S)⊆Y_x}

運算的結果是為了找出來t_r[x]，t_r∈表示t_r的條件是它本身屬於R，π_Y(S)表示而且tr屬於S關係對於Y屬性組的投影，⊆Y_x表示還要包含於分量值x的像集Yx。x=t_r[x]表示運算後發現要找出來的關係組就是在X上的分量值x。

除操作是同時從行和列角度進行運算。在進行除運算時，將被除關係R的屬性分成兩部分：與除關係相同的部分Y和不同的部分X。在被除關係中按X分組，即相同的X值的元組分為一組。出發的運算是求包括除關係中全部Y值的組，這些族中的X將做為除結果的元組。

當t[X]=x時，x在R中的象集（Images Set）為：

Z_x={ t[Z] | t ∈ R，t[X]=x }

它表示R中屬性組為X上值為x的諸元組在Z上分量的集合，實際上就是所有值等於x的元組(或記錄），然後在Z上的投影。

計算關係R除以關係S的步驟

將被除關係R的屬性分像集屬性和結果屬性兩部分：與除關係S相同的屬性屬於像集屬性，不相同的屬性屬於結果屬性。
求出被除關係R中X的各個分量的象集Y_x（將被除關係分組，結果屬性值X一樣的元組分為一組。）；
在除關係S中，求出與被除關係相同的屬性（像集屬性）Y的投影，得到除目標數據集合Π_Y(S)；
逐一考察每個組，比較像集Y_x和除目標數據集合Π_Y(S)，選取滿足Π_Y(S)⊇Y_x（像集屬性值包括除目標屬性集合_），則對應的結果屬性值應該屬於該除法運算結果集。

兩個關係的除法運算可表示為：

R÷S=Π_x(R)-Π_x((Π_x(R)×S)-R)

設關係R、S分別如下表所示。

關係R