凸對策

凸對策(convex game)是一類有特殊贏得函式的對策，如果對於局中人Ⅰ的任意純策略x∈X，贏得函式A(x，y)是y的一個凸函式，稱此對策G為凸對策。

基本介紹

• 中文名：凸對策
• 外文名：convex game
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學(對策論)
• 相關概念：凸函式，完全構型等

基本概念

設 為局中人集， 上對策全體仍記為 或 ， (或 )為 維歐幾里德空間。

任給 ，定義 中超平面

在不引起混淆的前提下，記 為 。

設為人對策。如果對，均有

則稱為凸對策(convexgame)。如果當均不相同時，(2)中嚴格不等式成立，則稱為嚴格凸對策(strictly convex game)。

凸對策的性質

下面介紹凸對策的一些性質。

性質1對固定的上所有凸對策全體形成凸錐(convex cone)。

性質2 設，則是凸對策的充要條件為:

對任意成立。

性質2表明凸對策具有與凸函式類似性質，因為當函式滿足時，則,是凸的，因此，凸對策充要條件是二階差分大於或等於零。這也是凸對策名稱的由來。

性質3凸對策在策略等價意義下不變，即若是凸對策，而和策略等價，則也是凸對策。

性質4 ，則下列條件等價

(i) 是凸對策；

(ii)

(iii)。

給定，由於核心C是凸多面體，為了刻畫凸對策解的結構，我們引進一些概念。，記，顯然，為方便起見，記。

定義1 給定，如果對，則稱核心構形(core configuration)為完全構形(complete configuration)。

定義2 給定，如果核心構形滿足，且成立，則稱為有規則(regular)構形。

性質5 設為凸對策，則。

推論設，則是凸對策的充要條件是對，有。

引理7設，為有規則構形，則對任何遞增序列，。特別地，當，有規則構形為完全構形。

性質6 給定，是凸對策的充要條件是核心構形是有規則構形。

性質7設是凸對策，則核心是唯一的穩定集。

下面將轉向凸對策的核的研究。如果是0-單調對策，則的核與準核相等，即

性質7設v是凸對策，則

性質8設是凸對策，於是只包含一個點。

因此，如果是一凸對策，核、準核以及核子三者都是重合的，可用求字典序的方法來求出凸對策的核。