凸對策

凸對策

凸對策(convex game)是一類有特殊贏得函式的對策,如果對於局中人Ⅰ的任意純策略x∈X,贏得函式A(x,y)是y的一個凸函式,稱此對策G為凸對策

基本介紹

  • 中文名:凸對策
  • 外文名:convex game
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:運籌學(對策論)
  • 相關概念:凸函式,完全構型等
基本概念,凸對策的性質,

基本概念

為局中人集,
上對策全體仍記為
(或
)為
維歐幾里德空間。
任給
,定義
中超平面
在不引起混淆的前提下,記
對策。如果對
,均有
則稱
凸對策(convexgame)。如果當
均不相同時,(2)中嚴格不等式成立,則稱
嚴格凸對策(strictly convex game)。

凸對策的性質

下面介紹凸對策的一些性質。
性質1對固定的
上所有凸對策全體形成凸錐(convex cone)。
性質2
,則
是凸對策的充要條件為:
對任意
成立。
性質2表明凸對策具有與凸函式類似性質,因為當函式
滿足
時,則,
是凸的,因此,凸對策充要條件是二階差分大於或等於零。這也是凸對策名稱的由來。
性質3凸對策在策略等價意義下不變,即若
是凸對策,而
策略等價,則
也是凸對策。
性質4
,則下列條件等價
(i)
是凸對策;
(ii)
(iii)
給定
,由於核心C是凸多面體,為了刻畫凸對策解的結構,我們引進一些概念。
,記
,顯然
,為方便起見,記
定義1 給定
,如果對
,則稱核心構形(core configuration)
完全構形(complete configuration)。
定義2 給定
,如果核心構形
滿足
,且
成立,則稱
有規則(regular)構形
性質5
為凸對策,則
推論
,則
是凸對策的充要條件是對
,有
引理7
為有規則構形,則對任何遞增序列
。特別地,當
,有規則構形為完全構形。
性質6 給定
是凸對策的充要條件是核心構形
是有規則構形。
性質7
是凸對策,則核心
是唯一的穩定集
下面將轉向凸對策的核的研究。如果
是0-單調對策,則
的核
與準核
相等,即
性質7設v是凸對策,則
性質8
是凸對策,於是
只包含一個點。
因此,如果
是一凸對策,核、準核以及核子三者都是重合的,可用求字典序的方法來求出凸對策的核。

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