凸錐

凸錐

一類特殊的凸集被稱之為凸錐,它有極其重要的性質和套用。既是錐又是凸集的點集稱之為凸錐。常見的凸錐包括:二維平面中的半射線、整個n維歐式空間等。凸錐中有一個重要的定理,凸錐分離定理。

基本介紹

  • 中文名:凸錐
  • 外文名:Convex cone
  • 基礎知識:凸集、錐
  • 常見凸錐:二維平面中半射線、n維歐式空間
  • 重要定理:凸錐分離定理
  • 套用學科:凸理論基礎
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基礎知識

凸集

中的點集,當
,對任意的
,點
,即連線
的整個線段
上的點都屬於
,則稱
凸集

中的點集,當
,對任意的
,點
,即由原點出發過
的半射線上的點都屬於
,則稱K為錐。

定義

中的點集,若點集
既是錐又是凸集時,即當
時,對任意不同時為零的
,點
,則稱
為凸錐。

性質

簡單性質

(1)
中的半射線是錐且是真凸錐。
(2)
中的
是錐並且是真凸錐。

凸集分離定理

中的兩個凸錐,且
,即兩個凸錐無公共點,那么存在一個超平面,將把
分離,即存在一個矢量
使得下面的不等式成立:

典例

例1

整個空間
是凸錐。

例2

是p+q個已知的n維向量,則滿足條件
的n維向量h的全體X組成一個凸錐。
證明:對任意
和任意兩個不同時為零的實數
,有:
因此,
為凸錐。

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