對偶錐

對偶錐((dual cone)亦稱極錐，錐的極集。有時對偶錐也稱為負極錐，相應地也可定義正極錐。實線性空間的理論常可推廣到凸錐的情形，即通常的向量的線性組合概念可換為正線性組合概念。這時，對偶錐就起著對偶空間的作用。

基本介紹

• 中文名：對偶錐
• 外文名：dual cone
• 適用範圍：數理科學

定義

設𝟀是實線性空間，C⊂𝟀是凸錐，則𝟀上相對於C的負和零線性泛函的集合，即是實線性空間中的錐，稱為C的對偶錐。由於將上述不等式中的0換為1仍得到相同的集合，因此亦稱為C的對偶錐。有時對偶錐也稱為負極錐。類似地可以定義正極錐。

錐

[cone]

這裡所說的錐是定義在實線性空間上的。設C是實線性空間𝟀的子集，如果對任意x∈ C和λ>0都有λx∈ C成立，則稱C是一個錐。若0∈ C，則稱錐C為尖錐(pointed come)。如果A⊂𝟀，則稱包含A的最小錐為由A生成的錐，即。如果𝟀中的錐C還是凸集，則稱C 是一個凸錐(convex cone)。由A（⊂𝟀）生成的凸錐即是A中元素所有正線性組合全體構成的集合。當凸錐C滿足C∩(-C)= {0} 時，則可以在𝟀上定義一個由C決定的半序關係。

立體錐

[solid cone]

設𝟀是可分的局部凸線性空間，C 是𝟀中的尖錐，如果C不包含一維子空間，則稱C是突出的(salien)。如果C是𝟀中的內部非空的突出的尖凸錐，則稱C為立體錐。此時，X上相對於C的任意正線性泛函f,即對任意x∈C都有f(x)≥0成立，都是連續的。

正則錐

[regular cone]

設C是巴拿赫空間空間𝟀的空子集，如果C是𝟀作為實線性空間的突出的尖凸錐，則C可以在𝟀上定義半序關係。如果C中任意遞增且有序有界序列都收斂，則稱C是正則錐。如果C 中任意遞增且範數有界序列都收斂，則稱C 是完全正則錐(completely regularcone)。如果C是正則的和立體的，則C是完全正則的。

正規錐

[normal cone]

設C是巴拿赫空間𝟀的非空子集，如果C是𝟀作為實線性空間的突出的尖凸錐，∈ 是由C 所導出的半序關係。如果，則稱C是正規的(normal)。此時，C是正規錐等價於範數的半單調(semimonotondicty)：存在常教M>0，使得當0≤x≤y時都有成立。