凸錐

一類特殊的凸集被稱之為凸錐，它有極其重要的性質和套用。既是錐又是凸集的點集稱之為凸錐。常見的凸錐包括：二維平面中的半射線、整個n維歐式空間等。凸錐中有一個重要的定理，凸錐分離定理。

基本介紹

• 中文名：凸錐
• 外文名：Convex cone
• 基礎知識：凸集、錐
• 常見凸錐：二維平面中半射線、n維歐式空間
• 重要定理：凸錐分離定理
• 套用學科：凸理論基礎

基礎知識

凸集

設為中的點集，當，對任意的，點，即連線的整個線段上的點都屬於，則稱為凸集。

錐

設是中的點集，當，對任意的，點，即由原點出發過的半射線上的點都屬於，則稱K為錐。

定義

設是中的點集，若點集既是錐又是凸集時，即當時，對任意不同時為零的，點，則稱為凸錐。

性質

簡單性質

（1）中的半射線是錐且是真凸錐。

（2）中的集是錐並且是真凸錐。

凸集分離定理

設是中的兩個凸錐，且，即兩個凸錐無公共點，那么存在一個超平面，將把分離，即存在一個矢量使得下面的不等式成立：

典例

例1

整個空間是凸錐。

例2

設和是p+q個已知的n維向量，則滿足條件

的n維向量h的全體X組成一個凸錐。

證明：對任意和任意兩個不同時為零的實數，有：

因此，，為凸錐。