基本介紹
- 中文名:回收錐
- 外文名:recession cone
- 所屬學科:數學
- 所屬領域:凸分析
- 相關概念:回收空間、巴拿赫空間、閉凸集等
基本介紹,回收錐定理,回收錐其他性質,
基本介紹
給定非空凸集C,我們說向量d是C的一個回收方向(direction ofrecession),如果
對所有的
和
都成立。因此,d是C的一個回收方向,如果我們從C中任意的x點出發,沿著d的方向走到無窮,而永遠都不穿過C的相對邊界跑到C之外的點上去。



所有回收方向的集合是一個包含原點的錐體(core),我們稱它為C的回收錐(recession cone),並記作
(參見圖1)。於是,
如果
對所有的
和
成立。閉凸集的一條重要性質就是為檢驗
是否成立,只需要驗證
對單一的
成立就可以了。這就是下述命題的(b)部分。









圖1 凸集C的回收錐
的圖示。回收方向d滿足
對所有
和
成立。




回收錐定理
命題1(回收錐定理(Recession Cone Theorem))令C為非空閉凸集。
(a) 回收錐
是閉的和凸的。

(b) 向量d屬於
若且唯若存在向量
使得
對所有
成立。




證明:(a) 如果
屬於
而
是正的標量使
成立,我們有對任意的
和












令d屬於
的閉包,並令
為收斂到d的點列。對於任意的
和
,我們有
對所有k成立,並且因為C是閉的,
。於是
,從而
是閉的。








(b) 如果
,根據
的定義,每個向量
都具有所要求的性質。反之,令d使得存在向量
滿足
對所有
成立。不失一般性,假定d≠0。任取
和
,我們要證明
。事實上,只要證明
,即假定
,因為通過用
代替d可以把
的一般情形可以歸結為
的情況。














根據我們對x和d的選取,令














的確,據
的定義,我們有





圖2 命題1(b)的證明中用到的構造。
於是結合前面的關係,我們有
對所有滿足
的k,在連線
的線段上,向量
處在
和
之間,因此由C的凸性,我們有
對所有充分大的k成立。因為
和C是閉的,可知
。









上述命題中集合C為閉的假設是實質性的。如果沒有這個假設,(a)部分不成立的一個例子是,考慮集合





回收錐其他性質
下述命題給出回收錐的一些其他性質。
(回收錐的性質)令C為非空閉凸集。
(a)
包含一個非零的方向若且唯若C是無界的。

(b)
。
