回收方向(direction of recession)是指實線性空間的集合中的射線所定義的方向。設A為實線性空間X的集合，若h∈X且存在x∈A，使得對於任何λ≥0，有x+λh∈A，那么h稱為A的回收方向。
基本介紹
- 中文名：回收方向
- 外文名：direction of recession
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：凸分析(凸集)
- 相關概念：回收錐、凸集等
定義,分析理解,
定義
給定非空凸集
，我們說向量
是的一個回收方向(direction ofrecession)，如果
對所有的
和
都成立。因此，是的一個回收方向，如果我們從中任意的
點出發，沿著的方向走到無窮，而永遠都不穿過的相對邊界跑到之外的點上去。
所有回收方向的集合是一個包含原點的錐體(core)，我們稱它為的回收錐(recession cone)，並記作
(參見圖1)。於是，
如果對所有的和成立。閉凸集的一條重要性質就是為檢驗是否成立，只需要驗證對單一的成立就可以了。
圖1分析理解
命題令
為閉的真凸函式，考慮水平集
(b) 如果某個非空水平集是緊的，那么所有這些水平集都是緊的。
注意在命題(a) 中，
的閉性對於水平集具有共同的回收錐是實質性的，讀者可以用一個例子來驗證這一點，考慮如下凸的但非閉的函式
.它由
圖2理解
回收方向的最直觀的方式是從一個下降的角度看問題：如果我們從任意
處出發，並且沿著回收方向隨意運動，我們必然保持位於每個包含
的水平集內，或者等價地，我們必然只遇到滿足
的點
換句話說，
的回收方向就是對連續不上升的方向.反過來，如果我們從某個出發，而且在沿著方向d移動的時候，我們遇到點z滿足
，那么d不可能成為回收方向。由
的水平集的凸性，一旦我們跨過水平集的相對邊界，我們就永遠不會再次跨越該邊界，而且易知，一個方向若不是回收方向，將是最終連續上升的方向[見圖3(e),(f)]。
閉的真凸函式在某個處沿著方向d的上升/下降行為，如果d是f的回收方向，就存在著兩種可能性: 要么f單調減少到某個有限值或
[分別對應圖
和
]，要么f達到小於等於
的某個值並且保持為該值[圖
和
]，如果d不是f的回收方向，那么最終f會單調增加到
[圖
和
]，即對某個
和所有滿足
的
我們有
，這樣的行為僅決定於d，獨立於x 在
中的選取。
